1.3.4 三角函数的应用-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

1.3.4　三角函数的应用 学习目标　1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 知识点　利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化． 思考　现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案　三角函数模型． 梳理　利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案. 类型一　三角函数模型在物理中的应用 例1　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)． (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解　(1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2＝. ∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0，即sin＝0， 而|φ|<，∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin. (2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. 反思与感悟　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径． 跟踪训练1　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin. (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解　(1)周期T＝＝1(s)． 列表： t 0 1 2πt＋ [来源:学科网ZXXK] π 2π 2π＋ 6sin 3 6 0 －6 0 3 描点画图： (2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 类型二　三角函数模型在生活中的应用 例2　某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么： (1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？ (2)当此人距离地面不低于米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？ 解　(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y 米，则α＝t＝t. 由y＝108－－cost ＝－49cost＋59(t≥0)． 令－49cost＋59＝，得cost＝， 所以t＝2kπ±， 故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33. 故当此人第四次距离地面 米时用了33分钟． (2)由题意得－49cost＋59≥59＋， 即cost≤－. 故不妨在第一个周期内求即可， 所以≤t≤，解得≤t≤， 故－＝3. 因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌． 反思与感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案． 跟踪训练2　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时． (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.[来源:学|科|网Z|X|X|K] 解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为t＝t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)． (2)由10s