第1章 章末复习-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

章末复习 学习目标　1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换． 1．任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； (3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tan α＝. 3．诱导公式 六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； 对称中心： (k∈Z) 对称中心：(k∈Z)， 无对称轴 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数[来源:学#科#网] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π 单调性 在 (k∈Z)上是单调增函数；在 (k∈Z)上是单调减函数 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数 在开区间，(k∈Z)上是单调增函数[来源:学科网ZXXK] 最值 在x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 无最值 类型一　三角函数的概念 例1　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ . 答案　－8 解析　r＝＝，且sin θ＝－， 所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8. 反思与感悟　(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1　已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝ . 答案　－ 解析　sin(2kπ＋α)＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t＜0.又sin α＝，则＝－，所以t＝－.[来源:学科网ZXXK] 类型二　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用 例2　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π)．求： (1)＋； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 解　由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝， sin θcos θ＝. (1)原式＝＋ ＝＋ ＝－ ＝sin θ＋cos θ＝. (2)由sin θ＋cos θ＝， 两边平方可得 1＋2sin θcos θ＝， 1＋2×＝1＋， m＝. (3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0， 得两根和. ∴ 或 ∵θ∈(0，2π)， ∴θ＝或. 反思与感悟　(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. (2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 跟踪训练2　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α. (2)由f(α