疑难规律方法 第1章 三角函数-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

1　同角三角函数关系巧应用 同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用． 一、知一求二 例1　已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝__________________________. 解析　由sin α＝， 且sin2α＋cos2α＝1得cos α＝±， 因为≤α≤π，可得cos α＝－， 所以tan α＝＝－2. 答案　－2 点评　已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论． 二、“1”的妙用 例2 证明：＝. 证明　因为sin2x＋cos2x＝1， 所以1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2， 所以＝ ＝＝＝. 即原命题得证． 点评　本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解． 三、齐次式求值 例3 已知tan α＝2，求值： (1)＝________； (2)2sin2α－3cos2α＝________. 解析　(1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α， 得＝＝＝－1. (2)2sin2α－3cos2α＝， 因为cos2α≠0，分子分母同除以cos2α， 得＝＝＝1. 答案　(1)－1　(2)1 点评　这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α，cos α的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cosnα(n∈N*)．这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m的值求解． 2　善用数学思想——巧解题 一、数形结合思想 例1 在[0,2π]内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________． 解析　在同一坐标系中画出y＝sin x，y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图： 由图知，x∈. 答案　 点评　求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单． 二、分类讨论思想 例2 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解　角α的终边在直线3x＋4y＝0上， 在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t， r＝＝＝5|t|. 当t>0时，r＝5t，sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－； 当t<0时，r＝－5t，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－， 综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－； 或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.[来源:学科网ZXXK] 点评　(1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论．(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论． 三、函数与方程的思想 例3 函数f(x)＝cos x－sin2x的最大值是________． 解析　f(x)＝cos x－sin2x＝cos2x＋cos x－1＝2－， 设cos x＝t，因为≤x≤，所以由余弦函数的单调性可知，≤cos x≤，即≤t≤， 又函数f(t)＝2－在上是单调增函数， 故f(t)max＝f＝，所以f(x)的最大值为. 答案　 点评　遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值． 四、转化与化归思想 例4 比较大小． tan与tan. 解　tan＝－tan，tan＝－tan. 因为0<<<，且y＝tan x在上是单调增函数，所以tan<tan.所以－tan>－tan， 即tan>tan. 点评　三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小．另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想. 3　三角函数的性质总盘点 三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会． 一、定义域 例1 函数y＝的定义域为________________． 解析　由题意得cos x≥， 所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 即函数的定义域是，k∈Z. 答案　，k∈Z 点评　解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解． 二、值域与最值 例2 函数y＝cos，x∈的值域是____________________________________． 解析　因为