2.1 向量的概念及表示-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

§2.1　向量的概念及表示 学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念． 知识点一　向量的概念 思考1　在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 答案　 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 思考2　两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 梳理　向量与数量 (1)向量：既有大小，又有方向的量称为向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 知识点二　向量的表示方法 思考1　向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案　可以用一条有向线段表示． 思考2　0的模是多少？0有方向吗？ 答案　0的模为0，方向任意． 思考3　单位向量的模是多少？ 答案　单位向量的模为1个单位长度． 梳理　(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示． 以A为起点、B为终点的有向线段记作. (2)向量的字母表示：向量可以用字母a， b， c，…表示(印刷用粗体a，b，c，书写时用， ， )． (3)向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作||.长度为0的向量称为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 知识点三　向量间的关系 思考1　已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？ 答案　因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线． 思考2　向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 答案　不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合． 思考3　若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 答案　不一定．因为当b＝0时，a，c可以是任意向量． 梳理　(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．[来源:Z_xx_k.Com] ①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行． (3)共线向量：由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 1．向量就是有向线段．(　×　) 提示　向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段． 2．若a，b都是单位向量，则a＝b.(　×　) 提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同． 3．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．(　√　) 提示　若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同． 类型一　向量的概念 例1　下列说法中，正确的是 ． ①向量与向量的长度相等； ②两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同； ③零向量没有方向； ④两个相等向量的起点相同，则终点也相同． 答案　①④ 解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；故②③都错误，①④正确． 反思与感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练1　下列说法正确的有 ．(填序号) ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上； ③向量与是平行向量． 答案　③ 解析　①错误．|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系． ②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上． ③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量． 类型二　共线向量与相等向量 例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)与模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有与. 反思与感悟　(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．