湖南省名校联盟2019届高三五月大联考数学（理）试题（扫描版）

第 1页（共 3页） 高三理科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D D D C B A A D C B 13. 60 14. 6 6 15.6 3 16.4或 8 17．解析：(1)设公差为 d，公比为 q，an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1，则 1＋d＝q 1＋3d＝q2 ，解得 d＝1 q＝2 ， ∴an＝n，bn＝2n－1.(5分) (2)Tn＝1·2n－1＋2·2n－2＋3·2n－3＋…＋n·20， 1 2 Tn＝1·2n－2＋2·2n－3＋3·2n－4＋…＋(n－1)·20＋ n 2 ， 两式相减得 1 2 Tn＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋2＋1－n 2 ＝2n－1－n 2 ， ∴Tn＝2n＋1－(n＋2)．(12分) 18．解析：(1)取 CD中点 H，连接 BH，则四边形 ADHB为正方形， ∴BC＝BD＝ 2，∴CD2＝BD2＋BC2，∴BC⊥BD， ∵平面 ADEF⊥平面 ABCD，DE⊥AD， ∴DE⊥平面 ABCD，DE⊥BC， ∵BD∩DE＝D，∴BC⊥平面 BDE， ∵BC⊂平面 BCE，∴平面 BCE⊥平面 BDE.(6分) (2)建立如图所示空间直角坐标系 D­xyz， 则 C(0，2，0)，B(1，1，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)， BC→＝(－1，1，0)，BE→＝(－1，－1，1)，BF→＝(0，－1，1)， 设 u＝(x，y，z)为平面 BEF的法向量，则 u·BE→＝0 u·BF→＝0 ，即 －x－y＋z＝0 －y＋z＝0 ， 令 y＝1，则 u＝(0，1，1)，同理可求得平面 BCE的法向量 v＝(1，1，2)， ∴cosθ＝| u·v |u||v| |＝ 3 2× 6 ＝ 3 2 ， ∵二面角 C­BE­F为钝角，∴二面角 C­BE­F为 150°.(12分) 19.解析：（1）三人选择支付方式互不相同的概率为 P＝A33×1 6 × 1 3 × 1 2 ＝ 1 6 .（4分） （2）∵甲乙选择的支付方式相同，∴甲乙选择微信支付的概率 P＝ 1 2 × 1 2 1 6 × 1 6 ＋ 1 3 × 1 3 ＋ 1 2 × 1 2 ＝ 9 14 ， 第 2页（共 3页） ∴甲乙不选择微信支付的概率为 5 14 . 由题意可得 X的可能取值为 0，1，2，3， ∴P（X＝0）＝1 2 × 5 14 ＝ 5 28 ，P（X＝1）＝1 2 × 5 14 ＝ 5 28 ， P（X＝2）＝1 2 × 9 14 ＝ 9 28 ，P（X＝3）＝1 2 × 9 14 ＝ 9 28 ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 28 5 28 9 28 9 28 EX＝0× 5 28 ＋1× 5 28 ＋2× 9 28 ＋3× 9 28 ＝ 25 14 .（12分） 20．解析：(1)椭圆的四个顶点围成的四边形面积为 2ab＝4 3，ab＝2 3， ∵e＝c a ＝ 1 2 ，∴ b a ＝ 3 2 ，∴a＝2，b＝ 3，c＝1，p 2 ＝1，p＝2， ∴椭圆 C：x 2 3 ＋ y2 4 ＝1，抛物线 E：x2＝4y.(5分) (2)设 l与 E切于点(x0，1 4 x20)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y′＝1 2 x，∴k＝1 2 x0， l：y－1 4 x20＝ 1 2 x0(x－x0)，即 y＝ x0 2 x－1 4 x20， 代入 C方程整理得(4＋3 4 x20)x2－3 4 x30x＋ 3 16 x40－12＝0， 由Δ＞0得－4＜x0＜4，∴x1＋x2＝ 3x30 16＋3x20 ，x1x2＝ 3x40－192 4（16＋3x20） ， ∴|AB|＝ 1＋k2× （x1＋x2）2－4x1x2＝2 3× 4＋x20× 4（16＋3x20）－x40 16＋3x20 ，d＝ x 20 2 4＋x20 ， ∴S△OAB＝ 1 2 |AB|d＝ 3 2 × [4（16＋3x20）－x40]x40 16＋3x20 ≤ 3 2 × 4（16＋3x20）－x40＋x40 2 16＋3x20 ＝ 3，当且仅当 4(16＋3x20)－x40＝x40，x20＝3＋ 41＜16时取等号．(12分) 21．解析：(1)f′(x)＝xe x－ex＋a x2 ≥0，∴xex－ex＋a≥0， 设 g(x)＝xex－ex＋a，则 g′(x)＝xex＞0，∴g(x)＞g(0)＝a－1，∴a－1≥0，a≥1.(4分) (2)当 a＝1时，f(x)＞mln(x＋1)⇔ex－x－1＞mxln(x＋1)⇔ex－x－1－mxln(x＋1)＞0， 设 h(x)＝ex－x－1－mxln(x＋1)，则 h′(x)＝ex－1－m[ln(x＋1)＋ x