湖南省名校联盟2019届高三五月大联考数学（文）试题（扫描版）

第 1页（共 3页） 高三文科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D D D C A D A A B 13. 4 14. 6  15.40 16.5 4 17．解析：(1)由已知及余弦定理得 b2＋c2－a2＝2bccos2B＝2bccosA， ∴cosA＝cos2B，A＝2B.(5分) (2)由(1)及正弦定理得 a sin2B ＝ b sinB ，∴cosB＝ 3 2 ，B＝π 6 ，A＝π 3 ，∴C＝π 2 ， ∴△ABC的面积为1 2 ×1× 3＝ 3 2 .(12分) 18.解析：（1）x＝ 1 15 （69＋74＋76＋78＋79＋82＋83＋85＋85＋86＋88＋91＋92＋95＋97） ＝84， 中位数是 85.（3分） （2）设成绩位于[80，90）的三个女同学为 a，b，c，90以上的两个女同学为 A，B.从中任 取 3人的情形有：abc，abA，abB，acA，acB，aAB，bcA，bcB，bAB，cAB，共 10种情形， 满足条件的有 6种， 故概率为 3 5 .（8分） （3）2×2列联表为 男 女 合计 优秀 10 5 15 合格 5 10 15 合计 15 15 30 K2＝30（10×10－5×5） 2 15×15×15×15 ≈3.333＞2.706， ∴有 90%的把握认为该次测试成绩是否优秀与性别有关.（12分） 19．解析：(1)如图，设 AC∩BD＝O，过 C向 AB作垂线交于 H， 则 BH＝1，AH＝3，CH＝3，AC＝3 2， ∵ AB CD ＝ AO OC ＝2，∴AO＝BO＝2 2，∴AO2＋BO2＝AB2，∴AC⊥BD. ∵DE⊥BD，平面 BDEF⊥平面 ABCD，∴DE⊥平面 ABCD，∴DE⊥AC. ∵BD∩DE＝D，∴AC⊥平面 BDEF.(6分) (2)连接 OE，由(1)知平面 ACE⊥平面 ODE，过 D向 OE作垂线交于 P， ∴DP⊥平面 ACE，∴DP即为 D到平面 ACE的距离， 第 2页（共 3页） 设 DE＝a，∴2 3 3 ＝ OD·DE OE ＝ 2a 2＋a2 ，解得 a＝2， ∴V＝1 3 ×3 2×2×3 2＝12.(12分) 20.解析：（1）根据题意可得 c＝ 2，ab＝ 3，∴a2＝3，b2＝1， ∴椭圆 C的方程为x 2 3 ＋y2＝1.（4分） （2）设 A（x1，y1），B（－x1，－y1），M（m，0），则根据题意可得 kMA＝ y1 x1－m ，kMB＝ －y1 －x1－m ， ∴kMA·kMB＝ y1 x1－m · －y1 －x1－m ＝ y21 x21－m2 ， 又 y21＝1－1 3 x21＝1 3 （3－x21），∴kMA·kMB＝ 1 3 （3－x21） x21－m2 ＝－ 1 3 · x21－3 x21－m2 ， ∴当 m2＝3时，kMA·kMB＝－ 1 3 ，此时点 M的坐标为（± 3，0）.（12分） 21.解析：(1)当 a＝1 2 时，f ′(x)＝(x－2)lnx＋1 2 x－2＋1＝(x－2)(1 2 ＋lnx)， 由 f ′(x)＞0得 x＞2或 0＜x＜e－ 1 2；由 f ′(x)＜0得 e－ 1 2＜x＜2， ∴f (x)的增区间为(0，e－ 1 2)，(2，＋∞)，减区间为(e－ 1 2，2)．（5分） (2)由 f (x)＞0得 axlnx＞2lnx－1， 若 x＞1，则 a＞2 x － 1 xlnx ，设 g(x)＝2 x － 1 xlnx ，g′(x)＝－2 x2 ＋ 1＋lnx x2ln2x ＝－ (2lnx＋1)(lnx－1) x2ln2x ， ∵x＞1，∴2lnx＋1＞0，∴当 x＞e时，g′(x)＜0，当 1＜x＜e时，g′(x)＞0，此时 g(x)在 x＝e 处取得最大值 g(e)＝1 e ，∴a＞1 e ． 若 x＝1，不等式恒成立，a∈R． 若 0＜x＜1，则 a＜2 x － 1 xlnx ，由以上知 g(x)在 x＝e － 1 2处取得最小值 g(e－ 1 2)＝4 e，此时 a＜4 e． 综上，a的取值范围是（1 e ，4 e）．（12分） 22.解析：（1）C1的普通方程为 x2＋（y－1）2＝a2，C2的直角坐标方程为 y＝ 3x.（4分） （2）由（1）知 C1是圆心为（0，1），半径为|a|的圆，且圆心（0，1）到直线 y＝ 3x的距 离为 1 2 ， ∵在 C1上至少存在一点 P到 C2的距离为 1， ∴必须满足|a|＋1 2 ≥1，即|a|≥1 2 ，解得 a≥1 2 或 a≤－1 2 .（10分） 第 3页（共 3页） 23．解析：(1)当 a＝2b时，f(x)＝|x－a2|＋|x＋a