打包（疑难规律方法）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教A版必修4）浙江专用

1　例说弧度制中的扇形问题 与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l＝|α|r和扇形面积公式S＝|α|r2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解．下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题． 例1　已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积． 解　设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝，r＝10，所以l＝αr＝，所以S弓＝S扇－S△＝lr－r2sin α＝50. 评注　本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解． 例2　扇形的半径为R，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？ 解　如图，设内切圆半径为r. [来源:学科网] 则(R－r)sin ＝r，所以r＝， 则内切圆的面积S＝πr2＝π2＝πR22. 因为＝，且0＜≤， 所以当＝，即α＝π时，Smax＝. 评注　解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解． 例3　已知扇形的周长为30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解　设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，所以l＝30－2r，从而S＝lr＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－2＋，所以当半径r＝cm时，扇形面积最大，为cm2.这时α＝＝2. 评注　本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值．此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题． 针对练习 1．扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S最大？最大值是多少？ 2．在扇形AOB中，∠AOB＝90°，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积． 3．已知扇形AOB的周长是6 cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积． 答案　1.θ＝2时，扇形面积最大，最大值为. 2．S＝πr2＝l2. 3．2 cm2. 2　同角三角函数关系巧应用 同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用． 一、知一求二型 例1 　已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝_____________________________________. 解析　由sin α＝，且sin2α＋cos2α＝1得cos α＝±， 因为≤α≤π，可得cos α＝－， 所以tan α＝＝－2. 答案　－2 点评　已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论． 二、妙用“1” 例2 证明：＝. 证明　因为sin2x＋cos2x＝1， 所以1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝. 即原命题得证． 点评　本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解． 三、齐次式型求值 例3 已知tan α＝2，求值： (1)＝________； (2)2sin2α－3cos2α＝________. 解析　(1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α， 得＝＝＝－1. (2)2sin2α－3cos2α＝， 因为cos2 α≠0，分子分母同除以cos2α， 得＝＝＝1. 答案　(1)－1　(2)1 点评　这是一组在已知tan α＝m的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cosn α(n∈N*)．这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m的值求解． 3　单调不“单调”，应用很“奇妙” 三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助． 一、信心体验——比较大小 例1 比较cos ，sin，－cos 的大小． 解　因为sin ＝cos＝cos ，－cos＝ cos ，又0<<<<，而y＝cos x在[0，π]上是减函数，所以cos >cos >cos ， 即－cos >sin >cos . 点评　比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：①将不同名的三角函数化为同名三角函数；②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；③由