2018-2019学年高中数学人教B版选修2-2（课件+讲义+课时跟踪训练）：第一章 导数及其应用 (共36份打包)

1.1导__数 1．1.1　函数的平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)． 问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0. 问题2：Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？ 提示：不能． 问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB来说，可近似地刻画．＝ 问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 提示：因越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比 问题5：从A到B，从A到C，两者相同吗？ 提示：不相同． 函数的平均变化率 一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商 称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．＝ 对平均变化率的理解 (1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x1)－f(x0)是相应Δx＝x1－x0的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． (2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量Δx有关，与x0也有关．同一个函数，不同的x0与不同的Δx其平均变化率往往都是不同的． (3)平均变化率表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势． 求函数的平均变化率 [例1]　求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值． [思路点拨]　先求函数值的增量Δy，再求，然后代入已知数据求解． [精解详析]　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ＝4x0＋2Δx，＝ 当x0＝1，Δx＝时， 平均变化率为4×1＋2×＝5. [一点通]　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．－2 解析：根据平均变化率的定义， 可知＝a＝3.＝ 答案：C 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx. 答案：C 3．计算函数f(x)＝x2在区间[1,1＋Δx](Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12 ＝Δx2＋2Δx， ∴＝Δx＋2.＝ (1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4； (2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3； (3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1； (4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01. 当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 比较平均变化率的大小 [例2]　(12分)已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？ [精解详析]　函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 (2分)＝ ＝＝－2x0－Δx.(4分) 当x0＝1，Δx＝，(6分)时，平均变化率的值为－ 当x0＝2，Δx＝，(8分)时，平均变化率的值为－ 当x0＝3，Δx＝，(10分)，时，平均变化率的值为－ ∵－，>－>－ ∴函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大．(12分) [一点通]　 (1)比较平均变化率大小的步骤： (2)函数的平均变化率的大小反映的是函数