人教版中考专题数学-几何综合之最值问题 讲义 练习（PDF 版，含答案）

演练方阵 几何综合之最值问题 长度最值问题 类型一：几何法解单线段最值问题 ☞考点说明：单线段长度的最值几何求法一般有以下几种模型：1 点到直线的垂线段最短，2 圆外一点到圆上一点的距离有最大值和最小值. 【难】1.如图，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是 AB 边上的动点（不与点 B 重合），将△ BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△ B′CP，连接 B′A，则 B′A 长度的最小值 是______ ． 【难】2.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 D，P 是CD 上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是 ． 【难】3.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2 2 ，以点 A 为圆心，AD 为半径的圆与 BC 相切于点 E，交 AB 于点 F． （1）求∠ABE 的大小及DEF 的长度； （2）在 BE 的延长线上取一点 G，使得 DE 上的一个动点 P 到点 G 的最短距离为2 2 2 ， 求 BG 的长． 【难】4.在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动． （1）如图①，当点 E 自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写 出 AE 与 DF 的位置关系，并说明理由； （2）如图②，当 E，F 分别移动到边 DC，CB 的延长线上时，连接 AE 和 DF，（1）中的 结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明） （3）如图③，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF，（1）中的结 论还成立吗？请说明理由； （4）如图④，当 E，F 分别在边 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E， F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图．若 AD＝2，试求出线段 CP 的最小值． 【难】5.如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边 CD 上一点，将△ ADM 沿直线 AM 对折，得到△ ANM． （1）当 AN 平分∠MAB 时，求 DM 的长； （2）连接 BN，当 DM＝1 时，求△ ABN 的面积； （3）当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值． 【难】6.如图，把△ EFP 放置在菱形 ABCD 中，使得顶点 E，F，P 分别在线段 AB，AD， AC 上，已知 EP＝FP＝6，EF＝6 3 ，∠BAD＝60°，且 AB＞6 3 ． （1）求∠EPF 的大小； （2）若 AP＝10，求 AE+AF 的值； （3）若△ EFP 的三个顶点 E、F、P 分别在线段 AB、AD、AC 上运动，请直接写出 AP 长 的最大值和最小值． 类型二：几何法解多线段最值问题 ☞考点说明：多线段最值问题几何解法一般分为求几个线段和的最小值和两个线段差的最大 值问题类型. 【难】1.如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，点 B 为劣弧 AN 的中点．点 P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ） A． 2 B． 1 C． 2 D． 2 2 【难】2.如图，正△ ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l⊥AB，且△ ABC 与△ A′BC′关于直线 l 对称，D 为线段 BC′上一动点，则 AD+CD 的最小值是（ ） A．4 B．3 2 C．2 3 D．2 3 【难】3.如图，▱ABCD 中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′处，折痕交 CD 边于点 E． （1）求证：四边形 BCED′是菱形； （2）若点 P 时直线 l 上的一个动点，请计算 PD′+PB 的最小值． 【难】4.已知二次函数 2 2y ax ax c   （a＜0）的最大值为 4，且抛物线过点（ 7 2 ， 9 4  ）， 点 P（t，0）是 x 轴上的动点，抛物线与 y 轴交点为 C，顶点为 D． （1）求该二次函数的解析式，及顶点 D 的坐标； （2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点 P 的坐标； 【难】5.如图，已知抛物