【配套PPT课件】第03章 三角恒等变形-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（北师大版必修4）

第三章　三角恒等变形 §1　同角三角函数的基本关系 1 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点　同角三角函数的基本关系式 思考1　计算下列式子的值： (1)sin230°＋cos230°； (2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案　3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x. ∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1. 思考2　由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 梳理　(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系： . ②商数关系： . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin2α＋cos2α＝1的变形公式 sin2α＝ ；cos2α＝ . sin α＝ ；cos α＝ . sin2α＋cos2α＝1 1－cos2α 1－sin2α cos αtan α [思考辨析 判断正误] 1.sin2α＋cos2β＝1.(　　) 提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立， 即sin2α＋cos2α＝1. × × √ 答案 提示 题型探究 类型一　利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1　已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 √ 答案 解析 反思与感悟　同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负. 又sin2α＋cos2α＝1， ② 又α是第三象限角， 解答 命题角度2　已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 解答 ∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 (2)当α是第三象限角时，则 反思与感悟　利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 解答 ∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角， (2)若α是第三象限角， 综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 类型二　利用同角三角函数关系化简 ∵α是第三象限角，∴cos α＜0. 解答 反思与感悟　解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 解答 解　∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 解答 类型三　利用同角三角函数关系证明 ∴原等式成立. 证明 反思与感悟　证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： (1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 证明 证明　方法一　(比较法——作差) 方法二　(比较法——作商) 方法三　(综合法) ∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cos x·cos x， 类型四　齐次式求值问题 例5　已知tan α＝2，求下列代数式的值. 解答 反思与感悟　(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值. (2)注意假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式. 所以tan α＝3. 解答 (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 解答 达标检测 1 2 4 5 3 √ 答案 解析