初升高衔接教材高一预科班数学 第14讲 幂函数(含课件与练习） (共2份打包)

我们先来看看几个具体的问题: (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,所需的钱数为y元，那么她需要支付_____________ y=x (元) (2)如果正方形的边长为 x,面积为y，那么正方形的面 积__________ (3)如果正方体的边长为x,体积为y，那么正方体的体积______ (4)如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 速度 ______________ y=x2 y=x3 y=x-1 (km/s) 思考：这些函数有什么共同的特 征？ 共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量. 情景引入，提出问题： 一、幂函数概念 一般地，如果一个函数，底数是自变量x,指数是常量 a ，即 y=xa ，这样的函数叫做幂函数. 如:y=x， y=x2，y=x5，y=x-1， y=x-4等都是幂函数. 注意:幂函数中的指数 a可以为任意实数.在中学阶段我们只关注a=1，2，3，-1，1/2 学生活动1 归纳幂函数的概念 一、幂函数概念 (1)判断下列函数是否为幂函数. 学生活动2 理解应用 (2) 幂函数y=f(x)的图像过点(2,8),求函数的解析式. 答案：y=x3 一、幂函数概念 (1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=x-5 (6) y=(2x)3 学生活动3 归纳幂函数的特征： 1. y=xa的系数是1；其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项。 2. 底数为x而不是x的代数式，如2x或x-2等； 3. 幂函数y=xa中指数a确定则幂函数确定。故用 待定系数法就解析式只需一个条件，如已知图像上的一个点的 坐标等。 一、幂函数概念 二、幂函数的图象 1 1 2 8 -1 -1 -2 -8 例1 画出函数f(x)=x3的图像，讨论其单调性. -8 1 -1 0 8 从图像上看出， f(x)=x3在R上 是增函数 解 1.列表： 2.描点作图： x … -2 -1 0 1 2 y … 0 x y 思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？ -x f(-x) x f(x) x y o 学生活动4 由图像得出奇偶函数的概念 奇函数定义： 一般地，图像关于原点 对称的函数叫作奇函数 在奇函数中，f(-x)和 f(x)的绝对值相等，符号相反，即 f(-x)= - f(x) 结论：函数f(x)=x3 的图像关于原点对称。 （1）观察f(x)=x3的图象 A‘(-x,-y) A(x,y) 偶函数定义: 一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数. x y o -x x f(-x) 思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？ f(-x)= f(x) （2）观察函数f(x)=x2图像 在偶函数中， f(-x)和f(x)的值 相等，即 结论：函数f(x)=x2 的图像关于y轴对称。 A( x,y) A’(-x,y) f(x) f(x)=x2 ☆对奇函数、偶函数定义的说明: (1) 函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。 （2） 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立,反之亦然。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立,反之亦然。 （3） 当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性。 [-b,-a] [a ,b] o x 例2 判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2的奇偶性. 用定义证明函数奇偶性的步骤： 1. 检验定义域是否关于原点对称 ； 2. 求f(-x)，化简，整理； 3. 比较f(x)与 f(-x),如果第二步不易化简 ， 可直接计算f(x) + f(-x) 另：判断函数奇偶性的还可用图象法，或借用一些熟知的基本函数的奇偶性. （4）练习：判断下列函数奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 X(1-x),(x<0) X(1-x),(x>0) { 三、课堂小结 (1) 幂函数的概念； (2) 函数奇偶性的概念及证明. $$ 课时达标 1．函数 在区间 上的最大值是（ ） （ ） A． B． C． D． 2. 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 3. 下列命题中正确的是 （ ） A．当 时函数 的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C．若幂函数 中a=3，则 是定义域上的增函数 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 4．函数 和 图象满足（ ） （ ） A．关于原点