12＋4分项练10 立体几何-【步步高】2019大二轮高考22题逐题特训-理科数学（通用版）

12＋4分项练10　立体几何 1．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是(　　) A．必存在平面α，使得a∥α，b∥α B．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等 C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥α D．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等 答案　C 解析　由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O(不在a，b上)，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以作出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选C. 2．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确命题的个数为(　　) ①若m⊥α，α⊥β，则m∥β； ②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n； ③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　对于①，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，所以不正确； 对于②，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又由n⊂β，所以m⊥n正确； 对于③，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交， 所以不正确； 对于④，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又由m⊥β，所以m⊥α是正确的， 综上可知，正确命题的个数为2. 3．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是(　　) 答案　A 解析　取DD1的中点F，连接AF，C1F， 平面AFC1E为截面．如图所示， 所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A. 4．(2018·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为(　　) A．3π＋4－2－2 B．3π＋2 C.＋2＋2－2 D.＋2 答案　A 解析　由三视图还原出原几何体是一个半圆柱挖去一个三棱柱，尺寸见三视图， S＝π×1×2＋2×.×2 ＝3π－2＋4＋2× 5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　) A. D．6 B．8 C. 答案　A 解析　如图所示，在棱长为2的正方体中，[来源:学科网] 题图中的三视图对应的几何体为四棱锥P－ADC1B1， 其中P为棱A1D1的中点， 则该几何体的体积 VP－ADC1B1＝2VP－DB1C1＝2VD－PB1C1 ＝2×.×S△PB1C1×DD1＝ 6．现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面ABD，ADC与底面垂直，由图二可得面ACE垂直于底面，由图三可知，无侧面与底面垂直． 7．(2018·漳州模拟)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为(　　) A. D．29 C. B. 答案　A 解析　如图1，分别取AC，A1C1的中点G，H，连接GH， 取GH的中点O，连接OA， 由题意，得A1B，＝A1C＋B1C 即△A1B1C1为直角三角形， 则点O为外接球的球心，OA为半径， 则R＝OA＝ ；＝ 如图2，作三棱柱的中截面， 则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心， 中截面三角形的内切圆的半径r＝＝1，也是内切球的半径， 因为R∶r＝∶2， 则其外接球与内切球的表面积的比值为.＝ 8．(2018·昆明适应性检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则(　　) A．MN∥C1D1 B．MN⊥BC1 C．MN⊥平面ACD1 D．MN⊥平面ACC1 答案　D 解析　对于选项A，因为M，N分别是BC1，CD1的中点，所以点N∈平面CDD1C1，点M∉平面CDD1C1， 所以直线MN是平面CDD1C1的斜线， 又因为直线C1D1在平面CDD1C1内， 故直线MN与直线C1D1不可能平行，故选项A错； 对于选项B，正方体中易知NB≠NC1， 因为点M是BC1的中点， 所以直线MN 与直线BC1不垂直，故选项B错；