压轴大题突破练01 直线与圆锥曲线（1）-【步步高】2019大二轮高考22题逐题特训-理科数学（通用版）

(一)直线与圆锥曲线(1) 1．(2018·唐山模拟)已知点A(－2,0)，点B(－1,0)，点C(1,0)，动圆O′与x轴相切于点A，过点B的直线l1与圆O′相切于点D，过点C的直线l2与圆O′相切于点E(D，E均不同于点A)，且l1与l2交于点P，设点P的轨迹为曲线Γ. (1)证明：|PB|＋|PC|为定值，并求Γ的方程； (2)设直线l1与Γ的另一个交点为Q，直线CD与Γ交于M，N两点，当O′，D，C三点共线时，求四边形MPNQ的面积． 解　(1)由已知可得|PD|＝|PE|， |BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|， 所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC| ＝|PE|＋|PC|＋|AB| ＝|CE|＋|AB| ＝|AC|＋|AB|＝4>2＝|BC|， 所以点P的轨迹Γ是以B，C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点)， 可求得Γ的方程为＝1(y≠0)． ＋ (2)由O′，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD， 又由直线CE，CA为圆O′的切线， 可知|CE|＝|CA|，|O′A|＝|O′E|， 所以△O′AC≌△O′EC，进而有∠ACO′＝∠ECO′， 所以|PC|＝|BC|＝2， 又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2， 所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±)． (ⅰ)当点P的坐标为(0，)时， ∠PBC＝60°，∠BCD＝30°， 此时直线l1的方程为y＝(x＋1)， 直线CD的方程为y＝－(x－1)， 由整理得5x2＋8x＝0， 得Q， 所以|PQ|＝， 由整理得13x2－8x－32＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，，x1x2＝－ |MN|＝ ，|x1－x2|＝ 所以四边形MPNQ的面积S＝.|PQ|·|MN|＝ (ⅱ)当点P的坐标为(0，－)时， 由椭圆的对称性，得四边形MPNQ的面积为. 综上，四边形MPNQ的面积为. 2．(2018·合肥模拟)已知椭圆，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，⊙F2：(x－c)2＋y2＝1与该椭圆有且只有一个公共点． ＝1(a>b>1)的离心率为＋ (1)求椭圆的标准方程； (2)过点P(4c,0)的直线与⊙F2相切，且与椭圆相交于A，B两点，求证：F2A⊥F2B； (3)过点P(4c,0)的直线l与⊙F1：(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)相切，且与椭圆相交于A，B两点，试探究kF2A，kF2B的数量关系． (1)解　∵⊙F2与椭圆有且只有一个公共点， ∴公共点为(a,0)或(－a,0)， 若公共点为(－a,0)，则a＋c＝1， 又，＝ 解得a＝<1，与a>1矛盾，故公共点为(a,0)． ∴a－c＝1，又e＝，∴a＝2，c＝1.＝ 反之，当c＝1时，联立 解得满足条件． ∴椭圆的标准方程为＝1.＋ (2)证明　∵P(4,0)，设过P(4,0)的直线l的方程为x＝my＋4， 联立 得(4＋3m2)y2＋24my＋36＝0， 由Δ＝576m2－144(4＋3m2)>0，得m2>4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，，y1y2＝ 又F2(1,0)， ∴＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2) · ＝(1＋m2)y1y2＋3m(y1＋y2)＋9 ＝.＋9＝－ 由l：x＝my＋4与⊙F2： (x－1)2＋y2＝1相切得m2＝8，满足m2>4， ∴＝0，即F2A⊥F2B.· (3)解　猜想： ＋ ＝0. 证明如下： 由(2)得 ＋ ＝＋ ＝. ∵2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m×＝0，－ ∴ ＋ ＝0. 3．(2018·成都模拟)设F1，F2分别是椭圆E：的最大值为1.·＝1的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，＋ (1)求椭圆E的方程； (2)设直线x＝ky－1与椭圆E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′(A′与B不重合)，则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． 解　(1)由题意得a＝2，c＝，b<4， ∴F1(－，0)． ，0)，F2( 设P(x，y)， 则－x，－y)，＝(－x，－y)，＝(－ 即＝x2＋y2－(4－b) · ＝x2＋b－－4＋b ＝x2＋2b－4， ∵x∈[－2,2]， ∴当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值1，· 即1＝×4＋2b－4，解得b＝1， 故所求的椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)由消去x， 整理得(k2＋4)y2－2ky－3＝0，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 显然Δ＝4k2＋12(k2＋4)＝16k2＋48>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)， 故y1＋y2＝.，y1·y2＝ ∴经过点A′(x1，－y1)，B(x