27.4 正多边形和圆-【名师学案】2019年九年级数学下册（华师大版）

27.4　正多边形和圆 　　　　　　　　　　　　　　　　 ►　正多边形的有关概念 1．如图，正六边形ABCDEF有一个__外接__圆和一个__内切__圆，它们有公共的__圆心__，圆心O叫做正六边形ABCDEF的__中心__，OA叫正六边形的__半径__，OG叫正六边形的__边心距__，∠AOB叫正六边形的__中心角__． 2．下列图形，是正多边形的是(C) A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．菱形 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(B) ①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．(易错题)下列说法正确的是(C) A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形 C．各边相等的圆内接多边形是正多边形 D．各角相等的圆内接多边形是正多边形 ►　正多边形的计算 5．如果一个正多边形的中心角是30°，则此多边形的边数是(A) A．12 B．10 C．8 D．6 6．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(A) A．12 mm B．12 mm C．6 mm D．6 mm 7．一个正多边形的中心角等于它的一个内角的，则这个正多边形的边数是(D) A．3 B．4 C．5 D．6 8．(中考·贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__3__．[来源:Zxxk.Com] 9．如图，正三角形ABC的边长是12，求此三角形的半径、边心距和面积． 解：如图，设点O是正△ABC的中心，连结OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，BD＝CD＝BC＝6，∵∠BOC＝＝120°，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝＝30°， 在Rt△OBD中，∠OBC＝30°，∴OB＝2OD， ∵OB2＝OD2＋BD2，∴(2OD)2＝OD2＋62， ∴OD＝2，∴OB＝2OD＝4， ∴S△ABC＝3×BC·OD＝36. ∴半径是4，边心距是2，面积是36. 正n边形的半径R，边心距r，边长a之间满足关系式R2＝r2＋()2，正n边形的面积＝×周长×边心距． ►　正多边形的画法 10．把圆分成n(n＞2)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个__内接正n边形__． 11．任意画一个⊙O，用量角器画一个角等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧．就得到圆的5个等分点，顺次连结各分点，就可以得到一个__正五边形__． 12．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB的度数近似于(C) A．11° B．17° C．21° D．25° 13．(中考·兰州)如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写做法，保留作图痕迹) 解：如图，四边形ABCD即为所求． 14．若圆的半径扩大为原来的2倍，则圆的内接正n边形的边长与半径的比(D) A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的4倍 D．没有变化 15．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是(D) [来源:学科网] A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 C.＝ D．∠BAC＝30° 16．(中考·巴中)如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为__18__． 17．(2018·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S＝__2__．(结果保留根号)[来源:学。科。网Z。X。X。K] 18．(中考·威海改编)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，求⊙O的内接正三角形EFG的边长． 解：连结OA，OB，OF，过点O作OH⊥GF于点H，则GF＝2FH， 设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝OF＝r，由题意知， ∠AOB＝＝90°，∠FOH＝60°， 在Rt△AOB中，OA2＋OB2＝AB2， 即r2＋r2＝42，解得r＝2， 在Rt△FOH中，∠OFH＝90°－∠FOH＝30°， ∴OH＝OF＝， ∴FH＝＝＝， ∴FG＝2FH＝2， ∴△EFG的边长是2. 19．如图所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON.