第27章 专题部分-【名师学案】2019年九年级数学下册（人教版）

基础训练专题 利用相似证明线段相等 1．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，M是DE的中点，DE∥BC，直线AM交BC于点N，求证：BN＝CN. 证明：∵M是DE的中点，∴DM＝EM，∵DE∥BC，∴△ADM∽△ABN，△AEM∽△ACN，∴＝，＝，∴＝，又∵DM＝EM，∴BN＝CN. 2．如图，EF∥AB∥CD，求证：EM＝FN. 证明：∵AB∥CD∥EF，∴＝，△DEM∽△DAB，△CFN∽△CBA，∴＝，＝，∴＝，∴EM＝FN. [来源:Zxxk.Com] 3．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于F，过点F作FM∥BE交DE于M.求证：FM＝CF. 证明：∵正方形ABCD，∴AD＝AB，AD∥BC，DC∥AB，∵FM∥BE，∴FM∥AD，∴△EFM∽△EAD，∴＝，又∵CF∥AB，∴△FCE∽△ABE，∴＝，∴＝，又∵AB＝AD，∴FM＝CF. 4．如图，以Rt△ABC的直角边AC，BC为边向外作正方形ACEF和正方形BHGC，连接AH，BF分别交BC，AC于点K，L.求证：CL＝CK. 证明：∵正方形ACEF和正方形BHGC，∴EF∥AC，∴BC∥GH，GC＝BC＝GH，AC＝EF＝CE，∴△BCL∽△BEF，△ACK∽△AGH，∴＝，＝，∴CL·BE＝BC·EF，CK·AG＝AC·GH，CL·BE＝CK·AG.又∵BC＝CG，EC＝AC，∴BC＋EC＝CG＋AC，即BE＝AG，∴CL＝CK. 5．如图，Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，P是AD的中点，延长BP交AC于N，MN⊥BC于M，延长BA，MN交于点E. (1)求证：MN＝EN； (2)若AB＝6，AC＝8，AN＝，求MN的长． (1)证明：∵AD是△ABC的高，MN⊥BC，∴∠ADB＝∠EMB＝90°，∴AD∥EM，∴△BAP∽△BEN，△BDP∽△BMN，∴＝，＝，∴＝，又∵AP＝DP，∴EN＝MN； (2)解：在Rt△ABC中，BC＝＝10，∵S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8，由(1)知AD∥MN，∴△CMN∽△CDA，∴＝，∴＝，解得MN＝. 方法技巧专题 利用平行线求线段的长或比 类型 一 　直接利用平行线求线段的长或比 [解题技巧]　解决此类题目一种方法是直接利用平行线分线段成比例定理或推论列出比例式，再代值计算线段的长或比，但一定要注意是截得的对应线段成比例；另一种方法是先利用“平行线”证两个三角形相似，然后利用相似三角形的性质列出比例式，再代值计算线段的长或比． 1．如图，△ABC中有平行四边形ANPM，若AN∶NC＝2∶1，则AM∶MB等于(A) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1∶2 B．2∶1 C．3∶2 D．2∶3 ,第1题图)　　　,第2题图) 2．(中考·济南)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于____． 3．(中考·成都)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD，AE＝4，则AC＝__6__． 4．已知，如图，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值． 解：∵EG∥BC，GF∥DC， ∴＝，＝， ∴＝， 即＝，解得AD＝10. 类型 二 　构造平行线求线段的长或比 [解题技巧]　当图形中没有平行线或利用已知条件不能直接求线段的长或比时，通常要添加辅助线——平行线，从而构造成比例线段或相似三角形，然后和已知线段的比发生联系，进而求线段的长或比． 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AF∶FC的值是(A) A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶5 6．如图，在△ABC中，M是AC中点，E是AB上一点，且BE＝3AE，求BC∶CD的值． 解：过点C作CF∥DE交AB于F，∵M是AC中点，∴AM＝CM.∵CF∥DE，∴＝＝1，∴AE＝EF.又∵3AE＝BE＝BF＋EF，∴BF＝2EF，∵FC∥DE，∴＝＝＝2. 7．如图，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点E是AC的中点，CD⊥BE交AB，BE于点D，F，求的值． 解：过点E作EH∥CD交AB于H. ∵E是AC的中点，∴AE＝CE＝AC，∵AC＝2BC，∴BC＝AC，∴AE＝CE＝BC，∵BC＝EC，CF⊥BE，∴BF＝EF，∵EH∥CD，∴＝＝1，＝＝1，∴AH＝DH，BD＝DH，∴BD＝DH＝AH，∴＝＝2. 模型构建专题 相似三角形中的基本模型 [来源:Zxxk.Com] 模型 一 　A字型及其变形 1．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，请添加一个条件__∠AED＝∠B或＝__，使△ABC∽△AED. 第