28.2 解直角三角形及其应用-【名师学案】2019年九年级数学下册（人教版）

28．2　解直角三角形及其应用 28．2.1　解直角三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　 ►　已知两边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，欲求∠A的度数，最合适的做法是(B) A．计算sinA的值求出 B．计算cosA的值求出 C．计算tanA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再用90°－∠B求出 2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠B的度数是(B) A．90° B．60° C．45° D．30° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝10，c＝20，则a＝__10__，∠A＝__30°__，∠B＝__60°__． 4．(教材P73例1变式)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝3，解这个直角三角形． 解：在Rt△ABC中， tanA＝＝＝， ∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°. ∵sinA＝sin30°＝＝，∴AB＝2BC＝2， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，AB＝2. 在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意，标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合锐角三角函数的定义、三角形内角和定理及勾股定理求解．►　已知一边一锐角解直角三角形 5．(中考·沈阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(D) A. B．4 C．8 D．4 6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝，则AC＝__1__，AB＝__2__． 7．(教材P73例2变式)如图，在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B＝45°，解这个直角三角形． 解：∵∠C＝90°，∠B＝45°， ∴∠A＝90°－∠B＝45°， ∵sinB＝＝sin45°， ∴b＝c·sin45°＝8×＝8， ∵tanB＝＝tan45°＝1，∴a＝b＝8， ∴∠A＝45°，a＝b＝8. (1)已知一锐角及斜边，求这个锐角的对边，应选择这个锐角的正弦；求这个锐角的邻边，应选择这个锐角的余弦． (2)已知一锐角及一条直角边，求另一条直角边，应选择这个锐角的正切；求斜边应选择这个锐角的正弦或余弦，也可用勾股定理． (3)在求未知元素时，应遵循以下两点：一是尽量选择可以直接运用原始数据的关系式；二是尽量选择便于计算的关系式，若能用乘法就避免用除法．►　已知一锐角三角函数值解直角三角形 8．(中考·怀化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm，则BC的长是(C) A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 9．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长是(C) A．7sin35° B. C．7cos35° D．7tan35° 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝__24__(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)． 11．等边三角形的边长是2，则它的面积是____． 12．(中考·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝，则BD的长为__6__． 第12题图 　　　　第13题图 13．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝2，∠B＝90°，∠C＝120°，则线段AD的长为__2__． 14．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求BC的长． [来源:学*科*网] 解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，sinC＝＝，∴AD＝AC＝×10＝6，∴CD＝＝＝8，在Rt△ABD中，cosB＝，∴∠B＝45°，∵tanB＝＝1，∴AD＝BD＝6，∴BC＝BD＋CD＝14. 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD平分∠BAC交BC于D.且AD＝，求∠B的度数和AB的长． 解：在Rt△ACD中，cos∠CAD＝＝＝， ∴∠CAD＝30°. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC＝60°， ∴∠B＝90°－∠BAC＝30°. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝2×8＝16， ∴∠B＝30°，AB＝16. 16．在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC的长是(A) A. B．2 C．3 D. 17．(分类讨论)在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cosB＝，则BC的边长为(D) A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 18．(拓展创新)探究：已知，如图1，在△ABC中，∠A＝α(0°<α<90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积； 应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC，