专题06 平行线分线段成比例-九年级数学下册同步知识基础与提升（含视频讲解）

311.平行线分线段成比例 基础部分 知识梳理： 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 数学表达式：如下图所示，∥∥,.可简记为: 要点剖析：（1）一组平行线两两平行，被截直线不一定平行； （2）所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； （3）当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 数学表达式：如下图所示，∥，. 要点剖析：（1）本推论实质是平行线分线段成比例定理中一组平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况. （2）成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段. 易错提示：当被截的两条直线相交时，其交点可看作含一条隐形的平行线. 典型题组： 1.如下图所示，已知∥∥，交于点，下列结论中错误的是（ ） [来源:学科网] A. B. C. D. 解析：平行线分线段成比例定理除基本图形外，主要还有“A”型和“X”型两种类型的图形，如上图包含这三种图形，从每种图形中找出比例线段即可判断错误的选项. 答案：根据∥∥，结合平行线分线段成比例定理可得解. ∥∥， ，故选项A,B，D正确； ∥，，故选项C错误. 答案：C. 2.如下图所示，直线∥∥，直线分别交这三条直线于直线分别交这三条直线于点，若，，求的长. 解析：因为本题是两条直线被三条平行线所截得到的图形.因此，要求的长，需找出图中与已知、所求相关的四条线段，再根据“上比下等于上比下”即可列出比例式求得的长. 答案：直线∥∥，且，， 根据平行线分线段成比例定理可得，即. 过关自测： 1.如下图所示，为的边延长线上的一点，连接，交于点，交于点. 求证：. 答案：四边形为平行四边形，∥，∥，. 2.如下图所示，在中，∥，若，则（ ） A.9 B.6 C.3 D.4 答案：B. 3.<浙江温州>如下图所示，在中，点分别在边上，∥.已知，则的长是（ ） [来源:学,科,网Z,X,X,K] A.4.5 B.8 C.10.5 D.14 答案：B. 提升部分 典型题组[来源:学&科&网Z&X&X&K] 1.如下图所示，过的顶点任作一条直线，与边及中线分别交于点和点.求证：. 解析：根据平行线分线段成比例定理的变式，可以尝试作平行线的方法，构造“A”型或“X”型的基本图形，从而解决问题. 答案：如上图所示，过点作∥，交的延长线于点， ，. ，即. 过关自测 1.如下图所示，在中，，与相交于点，求的值. 答案：如下图所示，过点作∥，交于点. 则∽∽. ，. 又..[来源:Z_xx_k.Com] 过点作∥，交于点，则∽，∽，.. . $$