【特惠】专题10 锐角三角函数的定义-九年级数学下册同步知识基础与提升（含视频讲解）

317.锐角三角函数的定义 基础部分 知识梳理： 1.定义：如下图所示，在中，. （1）锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；（2）的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （3）的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即. 要点精析：（1）“”“”“”是整体符号，不能理解为“”“”“”. （2）当锐角是用一个大写英文母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如，，等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如，等.[来源:学科网ZXXK] （3）三角函数符号后面可以写成度数，如等. 易错警示：（1）在中，三角函数的符号一定要小写，不能大写. （2）正弦、余弦、正切函数是直角三角形中相对于锐角而定义的，反映了直角三角形边角之间的关系，是两条线段的比值，没有单位. 典型题组： 1.在中，的对边分别为，请根据下列条件分别求出的三个三角函数值： （1）；（2）. 解析：锐角三角函数揭示了直角三角形的三边关系，所以先利用勾股定理求出未和知边的长度，然后根据定义求的三角函数值. 答案：（1）如下图所示，在中，. . （2）如下图所示，在中，. . 2.如下图所示，在中，，，求的三个三角函数值. 解析：求的三个三角函数值，必须知道三角形的三边长，已知的正切值，若设边的长为，则可用含的式子表示出和边的长，最后根据锐角三角函数的定义可求出的三个函数值. 答案：在中，设，. . ， 3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将直角三角形形纸片按如下图所示那样折叠，使点与点重合，抓痕为，则的值为（ ） A. B. C. D. 解析：在中，要求的正切值，只需求出的长度.设，则，根据折叠的性质可知.在中，根据勾股定理得，即，解得.所以. 答案：C[来源:Z。xx。k.Com] 4.如下图所示，在中，则的面积是（ ） A. B.12 C.14 D.21 解析：过点作于点，， 解得，. 答案：A. 5.如下图所示，是的外接圆，的半径是，则的值是（ ） A. B. C. D. 解析：要求，需将放在直角三角形中，在圆中有直径所对的圆周角是直角，故过点作直径，再连接，根据同孤所对的圆周角相等，将转化到直角中. 因为，所以. 答案：A. 过关自测： 1.如下图所示，在中，是斜边上的中线，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：C. 2.如下图所示，在菱形中，，连接，则的值是（ ） [来源:学科网ZXXK] A. B.2 C. D. 答案：B. 3.如下图所示，在矩形纸片中，，把沿对角线折叠，使点落在处，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：D. 4.如下图所示，锐角三角形中，以为直径的半圆分别交于两点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：D. 5.在中，，若将各边长度都是扩大为原来的2倍，则的正弦值（ ） A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的4倍 D.不变 答案：D. 6.如下图所示，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 答案：A. 7.如下图所示，在中，，把的邻边与对边的比叫做的余切，记作.则下我关系式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 答案：D. 8.<四川乐山>如下图所示，在直角坐标系中，是第一象限内的点，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值是，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案：A. 提升部分 典型题组： 1.已知是锐角，（1）探究与之间的关系； （2）探究与之间的关系. 解析：将放入直角三角形中，利用锐角三角函数的定义和勾股定久来探究的三角函数之间的关系. 答案：如下图所示，在中，，所对的边分别是. （1），. ，. （2），.又，. 2.已知.探究：（1）与的关系； （2）与的关系. 解析：根据和互余，可以将和放入同一个直角三角形中，利用锐角三角函数的定义去探究互为余角的三角函数关系. 答案：如下图所示，在中，，. 令所对的边分别. （1）. （2）. 3.计算：. 解析：通过观察可知，运用互余两角正弦值、余弦值之间的关系：将原式变形，再根据求解. 答案：原式= . 4.当，探究的取值范围与增减性： （1） < ，且随的增大而 ； （2） < ，且随的增大而 ； （3） ，且随的增大而 ； （4）根据以上探究的结论比较大