北师大版九年级数学下册教案：1.4解直角三角形
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1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.
2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.
1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.
2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.
1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.
2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.
【重点】 理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.
【难点】 从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习三角函数和勾股定理的相关知识.
导入一:
课件出示:
在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?
【师生活动】 复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.
【学生活动】 通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.
[设计意图] 在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.
导入二:
课件出示:
如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12 m,AB=6
m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?
学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.
【引入】 这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.
[设计意图] 通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.
[过渡语] 我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.
一、已知两条边解直角三角形
【做一做】 在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?
课件出示:
(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=
,b=
,求这个三角形的其他元素.
思路一
教师引导学生分析:
1.直角三角形中已知两边可以利用 定理求出第三条边.
2.直角三角形中,已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数.
3.再利用 求∠B(或∠A)的度数.
【师生活动】 教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.
【学生活动】 得出结论:1.勾股定理 2.三角函数 2.两锐角互余
解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c=
=
=2.
在Rt△ABC中,sin B=
=
=
,
∴∠B=30°,∴∠A=60°.
思路二
分组探究,思考下面的问题:
1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?
2.如何再求出另外一个锐角的度数?
3.如何再求出第三条边的长?
【师生活动】 学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.
解:在Rt△ABC中,a=,b=,
∴tan A=
=
=,
∴∠A=60°,∴∠B=30°.
在Rt△ABC中,sin B=sin 30°=,
即=
,∴c=2.
【教师小结】 解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.
[设计意图] 通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.
[知识拓展] 已知直角三角形两条边求其他元素的方法:
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.
二、导入题再现
[过渡语] 你现在可以解决导入二中的问题了吗?
【师生活动】 要求学生独立完成,进行小组比赛,找代表板演,师生共同订正.
解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.
在Rt△ABC中,tan∠BCA=
=
=,
∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.
∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6 m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.
[设计意图] 通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.
三、已知一条边和一个角解直角三角形
[过渡语] 在Rt△ABC中,如果已知一边和一个锐角,你能求出这个三角形的其他元素吗?请看下面的问题:
(教材例2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°.求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
〔解析〕 在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,
∴∠A=65°.
∵sin B=,b=30,∴c=
=
≈71.
∵tan B=
,b=30,∴a=
=
≈64.
【教师设疑】 此题还有其他解法吗?
【学生活动】 学生相互交流他们的解法.
[设计意图] 通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.
[知识拓展] 已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:
已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.