1.4.2.2 空间图形的公理（二）（课件）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（北师大版必修2）

课前预习 课堂互动 课堂反馈 4．2　空间图形的公理(二) 课前预习 课堂互动 课堂反馈 学习目标　1.掌握公理4及等角定理(重点)；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重、难点)． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 知识点一　公理4 预习教材P24－26完成下面的问题： 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 符号语言 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b 图形语言 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”) 　(1)公理4在平面内和空间中均成立． ( ) (2)多条直线平行于同一条直线，则这些直线互相平行．( ) √ √ 课前预习 课堂互动 课堂反馈 知识点二　空间等角定理 1．定理 文字语言 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 课前预习 课堂互动 课堂反馈 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”) 　(1)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行． ( ) (2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等． ( ) (3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补． ( ) × √ × 课前预习 课堂互动 课堂反馈 知识点三　异面直线所成的角 1．概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角． 2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. 3．如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 4．异面直线所成的角的求法 方法一　在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 方法二　在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图)． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【预习评价】 　(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示　(1)不一定．可能相交、平行或异面． (2)在长方体A1B1C1D1－ABCD中， BC1∥AD1，则“直线BC1与直线 BC所成的角”，与“直线AD1与 直线BC所成的角”是否相等？ 提示　相等． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 题型一　公理4、等角定理的应用 【例1】　E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形． 证明　设Q是DD1的中点， 连接EQ，QC1. 因为E是AA1的中点， 所以EQ綊A1D1. 课前预习 课堂互动 课堂反馈 又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1， 所以EQ綊B1C1. 所以四边形EQC1B1为平行四边形．所以B1E綊C1Q. 又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点， 所以QD綊C1F. 所以四边形DQC1F为平行四边形． 所以C1Q綊FD. 又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD. 所以四边形B1EDF为平行四边形． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 规律方法　(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． (2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 【训练1】　在空间四边形ABCD中，如 图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG 的位置关系是________． 课前预习 课堂互动 课堂反馈 答案　平行 解析　连接BD，如图． ∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)， ∴EH∥BD， 又∵e