1.4.2.2 空间图形的公理（二）（课后作业）-2018-2019版数学创新设计课堂讲义同步系列（北师大版必修2）

基础过关 1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于(　　) A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 解析　由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°. 答案　D 2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(　　) A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形 解析　如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．BD，HG綊EF綊 答案　D 3．下列四个结论中假命题的个数是(　　) ①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行； ③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c； ④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直． ④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面； 当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交． [来源:Z_xx_k.Com] 答案　B 4．已知a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a(平面α，b(平面β，则a，b一定是异面直线； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 上述命题中正确的是________(只填序号)． 解析　由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a(α，b(β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确． 答案　① 5．已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中：[来源:学&科&网Z&X&X&K] (1)BC′与CD′所成的角为________； (2)AD与BC′所成的角为________． 解析　如图，连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角． 由△A′BC′为正三角形， 知∠A′BC′＝60°， 由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°. 答案　(1)60°　(2)45° 6．如图，三棱锥P－ABC中，E是PC上异于点P的点．求证：AE与PB是异面直线． 证明　假设AE与PB不是异面直线， 设AE与PB都在平面α内， 因为P∈α，E∈α，所以PE(α. 又因为C∈PE，所以C∈α. 所以点P，A，B，C都在平面α内． 这与P，A，B，C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾． 于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线． 7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊FA，G、H分别为FA、FD的中点． AD，BE綊 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH綊AD，∴GH綊BC， AD.又BC綊 ∴四边形BCHG为平行四边形． (2)解　由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH， ∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面． 能力提升 8．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)[来源:Zxxk.Com] A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 解析　我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角． 答案　A 9．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C. 答案　C 10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF；②AB与C