1.5.2 利用二次函数解决与最值有关的实际问题-2018年九年级下册数学名师学案（湘教版）

第2课时　利用二次函数解决与最值有关的实际问题 ●名师导学 对于面积最大问题，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系式，转化为函数问题，从而把面积最大问题转化成求二次函数的最大值问题．但在解题时，要注意保证自变量和函数都应具有实际意义． ●名题引路 【例】　某商品的进价是每件40元，当售价是60元时，每星期可出售300件，现需降价处理，经市场调查发现每降价1元，每星期可多出售20件． (1)若设每件降价x元，每星期出售该商品的利润是y元，写出y与x之间的函数关系式； (2)求x取多少时，每星期的利润最大？是多少元？ 分析：(1)根据“利润＝每件利润×销售量”列出函数关系式并化简即可；(2)直接利用二次函数的顶点坐标公式求解即可． 解：(1)y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000(0≤x<20) (2)∵a＝－20<0，∴当x＝－＝2.5时，y有最大值为6125元，即当降价2.5元时，每星期的利润最大，是6125元． ●易错警示 1．在解决利润问题时易因为不考虑自变量的取值范围(或考虑不全面)而出错． 2．对于面积问题不可忽略隐含条件(如墙长)等．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在实际问题中，利用二次函数求最大值或最小值，一般应先把函数表达式化为__顶点式__，然后根据__自变量的取值范围__确定其最大值或最小值． 2．销售问题中常见的几个数量关系： (1)每件商品的利润＝__售价__－__进价(或成本)__； (2)销售利润＝销售额－__总成本__＝每件利润×__销售量__； (3)销售额＝__售价__×__销售量__． [来源:学科网ZXXK] ● 　利用二次函数求图形面积的最值问题 1．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(B) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定 2．如图，用12 m长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽分别为__3_m__、__2_m__．[来源:Z,xx,k.Com] 第2题图 　　　　第3题图 3．如图，利用一面墙(墙长不超过45 m)，用80 m长的篱笆围成一个矩形场地，当AD＝__20_m__时，矩形场地的面积最大，最大值为__800_m2__． ● 　利用二次函数求商品利润的最值问题 4．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出500 kg.销售价每涨1元，月销售量就减少10 kg，设每千克涨价x元，则现在该商品的售价是__(50＋x)__元，每千克的利润是__(10＋x)元__，月销售量减少__10x__ kg，是__(500－10x)__kg，该商店这个月销售这种水产品的总利润y(元)与x之间的函数关系式是__y＝－10x2＋400x＋5000__，当x＝__20__时，y最大，是__9000__元． 5．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元)之间满足关系式y＝－x2＋80x－1000，则每天最多可获利__600__元． 6．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A) A．5元 B．10元 C．0元 D．6元 1．若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数关系式为(D) A．y＝(6＋x)2 B．y＝x2＋62 C．y＝x2＋6x D．y＝x2＋12x 2．某商店经营皮鞋，已知所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为y＝－x2＋24x＋2956，则获得最多为(B) A．3144元 B．3100元 C．144元 D．2956元 3．某产品进货单价为90元，按100元一件售出时，能售500件，如果这种商品每涨价1元，其销量就减少10件，为了获得最大利润，其单价应定为(B) A．130元 B．120元 C．110元 D．100元 4．某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16 m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24 m，设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式为__S＝－4x2＋24x__，x的取值范围是__2≤x<6__，当x＝__3__时，面积S最大，最大面积为__36_m2__． 5．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销量t(件)与每件的销售价x(元)可看作一次函数关系：t＝－3x＋204. (1)写出商场卖这种服装每天销售利润y(元)与每件的销售价x之间的函数关系式是__