1.4.1 角平分线的性质和判定-2018年八年级下册数学名师学案（湘教版）

1.4　角平分线的性质 第1课时　角平分线的性质和判定 [来源:学科网] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.角平分线上的点到角的两边的距离__相等__. 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的__平分线上__. ►　角平分线的性质 1.(导学号81306009)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA＝2，则PQ的最小值为(B) A.1 B.2 C.3 D.4 ,第1题图)　　　,第2题图) 2.(中考·怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA， PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B) A.PC＝PD B.∠CPD＝∠DOP C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD 3.(中考·长沙)如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE＝4 cm，则点P到边BC的距离为__4__cm. 4.(教材P24练习2变式)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F. 求证：BE＝FC. 证明∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， DF⊥AC，∴DE＝DF. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵BD＝CD，DE＝DF ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， ∴EB＝FC. [来源:学§科§网Z§X§X§K] 　　角平分线的性质定理是由角之间的数量关系得到线段间的数量关系，因此角平分线的性质定理常用于证明线段相等. ►　角平分线的判定 5.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(D) A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点 C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点 ,第5题图)　　　,第6题图) 6.如图是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP＝∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__PC＝PD__，才能保证OP为∠AOB的平分线. 7.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD＝CD.求证：点D在∠BAC的平分线上. 证明：在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠BAC的平分线上. [来源:Zxxk.Com] [来源:学+科+网] 　　当有角平分线这一条件时，常过角平分线上一点向角的两边作垂线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等来解题；同样，欲说明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证垂线段相等即可. 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题4分，共12分) 1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是(D) A.PA＝PB B.PO垂直平分AB C.OA＝OB D.AB垂直平分OP ,第1题图)　　　,第2题图) 2.如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB， PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD等于(B) A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为(B) A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 二、填空题(每小题4分，共12分) 4.(2017·株洲第七中学月考)如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝__35__°. ,第4题图)　　　,第5题图) 5.已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，D恰好是AB中点，若AE＝6 cm，则△ADE的周长为__9＋3_cm__. 6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝__50°__. 三、解答题(共26分) 7.(6分)如图，在△ABC中，AD为角的平分线，DE⊥AB于E；DF⊥AC于F，AB＝10 cm，AC ＝8 cm，△ABC的面积是45 cm2，求DE的长？ 解：由题得DE＝DF， S△ABC＝AC·DFAB·DE＋ ＝45， ∴DE＝5 cm 8.(10分)(中考·大庆)如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上且DM＝DN，∠BMD＋∠BND＝180°.求证：BD平分∠ABC.[来源:Z,xx,k.Com] 证明：过点D分别作AB， BC的垂线，垂足为E，F， ∵∠BMD＋∠BND＝180°，∠BMD＋∠EMD＝180°， ∴∠EMD＝∠BND， 又∵DM＝DN，