1.4.2 角平分线的性质和判定的应用-2018年八年级下册数学名师学案（湘教版）

第2课时　角平分线的性质和判定的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.三角形三个内角平分线相交于一点，且这点到三边的距离__相等__. 2.到三角形三条边的距离相等的点是其任意两角的__平分线__的交点，此点也在另一个角的__平分线__上. ►　三角形的角平分线的性质的应用 1.(导学号81306010)如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且 EP＝6.若点F是OP的中点，则CF的长是(D) A.6 B.3[来源:Z|xx|k.Com] D.3 C.2 ,第1题图)　　　,第2题图) 2.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有(A) A.3对 B.2对 C.1对 D.没有 3.(中考·兰州)如图，公路OA和OB相交于点O，∠AOB内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置. (不写作法，保留作图痕迹，写出结论) 解：点P在∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点处，如图. 　　三角形三个内角的平分线交于一点，这点到三边的距离相等，应用该性质既可进行几何作图，又可证明线段的相等或角的相等或进行面积的计算. ►　角平分线的性质与判定的综合应用 4.如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R， PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中(B) A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确 ,第4题图)　　　,第5题图)[来源:Zxxk.Com] 5.如图，已知BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的外角平分线，过点D作BC，AC和AB的垂线DE， DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__DE＝DF＝DG__. 6.(教材P26习题5变式)如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P.点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等吗？为什么？ 　　　　 解：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等，理由如下： 过点P分别作PM⊥AB， PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q. ∵BD是∠ABC的外角平分线，PM⊥AB，PN⊥BC， ∴PM＝PN. ∵CE是∠ACB的外角平分线，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴PN＝PQ， ∴PM＝PN＝PQ. 即点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. 　　证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定. 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题4分，共12分) 1.如图，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE＝3 cm，则AB与CD之间的距离为(B) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.无法确定 ,第1题图)　　　,第2题图) 2.如图，在直线MN上找一点P，使点P到∠AOB两边所在直线的距离相等，符合条件的点有(C) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.如图，O为△ABC内一点，OD⊥AB，OE⊥AC.OF⊥BC，若OD＝OE＝OF.连接OA、OB、OC.下列说法不一定正确的是(B) A.△BOD≌△BOF B.∠OAD＝∠OBF C.∠COE＝∠COF D.AD＝AE ,第3题图)　　　,第4题图) 二、填空题(每小题4分，共12分)[来源:学科网ZXXK] 4.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S1、S2，则S1∶S2等于__2∶1__. 5.如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝__70__度. ,第5题图)　　　,第6题图) 6.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__5__. 三、解答题(共26分) 7.(6分)如图所示，在小河南岸，公路西侧有一个工厂，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，在图上标出工厂的位置，并说明理由. 解：作小河与公路夹角的平分线BM，在BM上截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置. 8.(8分)如图，BD是∠ABC的平