2019高考数学（理）六大解答题突破（课件+讲义+优选习题）：突破五 　圆锥曲线的综合应用 (共3份打包)

突破训练(二十七) 1．(2018·济南模拟)已知点P(－2,1)在椭圆C：＝1(a>0)上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点． ＋ (1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率； (2)求△PAB面积的最大值． [解]　(1)将P(－2,1)代入＝1. ＋＝1，a2＝8.故椭圆方程为＋＝1，得＋ 当直线AB斜率不存在时不合题意，故设直线AB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)， 由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0， x0＝， ，y0＝kx0＋m＝(x1＋x2)＝－ 直线OP经过弦AB的中点，则kOM＝kOP，， ＝－ . ，即直线AB的斜率为，∴k＝＝－ (2)当k＝时，由Δ＝64－16m2>0得－2<m<2，x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4， |AB|＝， ＝2 |x1－x2|＝ 点P到直线AB：y＝， x＋m的距离d＝ △PAB的面积S＝|AB|·d＝|m－2| ＝. 设f(m)＝－(m－2)3(m＋2)(－2<m<2)， 则f′(m)＝－[3(m－2)2(m＋2)＋(m－2)3]＝－4(m－2)2·(m＋1)， 求得f(m)max＝f(－1)＝27，所以Smax＝.＝3 2．(2018·东北三校联考)已知椭圆C：. ，且过焦点的弦中最短的弦的长度为＝1(a>b>0)的焦距为2＋ (1)求该椭圆C的方程． (2)经过椭圆右焦点F2的直线和该椭圆交于A，B两点，点P在椭圆上，O为原点，若，求直线的方程． ＋＝ [解]　(1)由题意得，在椭圆中c＝，所以a2－b2＝2.① 过焦点的弦中垂直于x轴的弦最短，易得该直线与椭圆的交点的纵坐标为±. 由弦的长度为.②＝，即＝得 由①②式得a2＝3，b2＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)椭圆C的方程为＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)， 因为y2. y1＋x2，y3＝x1＋，所以x3＝＋＝ 又因为点P在椭圆上， 所以22＋＝＋y ＝＋＋ ＝＝1， ＋＋ 所以x1x2＋3y1y2＝0. ①当直线斜率为0时，其方程为y＝0， 此时不妨设A(，0)，不满足x1x2＋3y1y2＝0，不符合题意，舍去． ，0)，B(－ ②当直线斜率不为0时，设直线方程为x＝my＋， 由my －1＝0， 消去x，得(m2＋3)y2＋2 所以 所以x1x2＋3y1y2＝(my1＋＋2＝0， m×＋m(y1＋y2)＋2＋3y1y2＝(m2＋3)×)＋3y1y2＝m2y1y2＋)(my2＋ 化简，得m2－4m2＋3＝0，解得m2＝1，所以直线方程为x＝±y＋. 综上，直线方程为x－y－＝0.＝0或x＋y－ 3．(2018·西安模拟)如图，点F是抛物线Γ：x2＝2py(p>0)的焦点，点A是抛物线上的定点，且＝(2,0)，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC的斜率分别为k1，k2. (1)求抛物线Γ的方程； (2)若k2－k1＝2，点D是B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S是定值． [解]　(1)设A(x0，y0)，可知F＝(2,0)， ＝，故 ∴代入x2＝2py(p>0)，得4＝p2，即p＝2， ∴抛物线Γ的方程为x2＝4y. (2)证明：如图，过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B， ，C 由(1)得A(－2,1)， ∴k2－k1＝，又k2－k1＝2， ＝－ ∴＝2，即x2－x1＝8. 又x2＝4y即y＝x， x2，有y′＝ ∴kBD＝， ，kCD＝ ∴直线DB：y＝. x－，直线CD：y＝x－ ∴联立解得 又∵直线BC的方程为y－(x－x1)， ＝ 将xD代入，得yE＝. ∴△BCD的面积为S＝×8＝32(定值)．××(x2－x1)＝××(yE－yD)×(x2－x1)＝ED·(x2－x1)＝ 4．(2018·郑州质检)已知椭圆x2＋2y2＝m(m>0)，以椭圆内一点M(2,1)为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点． (1)求椭圆的离心率； (2)试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由． [解]　(1)将方程化成椭圆的标准方程. ＝，故e＝＝，c＝ ＝1(m>0)，则a＝＋ (2)由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1，代入x2＋2y2＝m(m>0)，消去y，得(1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(2k－1)2－m＝0(m>0)．所以x1＋x2＝.由弦长公式，可得 ，故CD的中点N为得3y2＋2y＋1－m＝0，y3＋y4＝－＝4，即k＝－1，此时，由Δ>0，得m>6.则直线AB的方程为x＋y－3＝0