2019高考数学（理）六大解答题突破（课件+讲义+优选习题）：突破四　空间向量与立体几何 (共3份打包)

突破训练(二十三) 1．如图，过底面是矩形的四棱锥F－ABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.求证： (1)FG∥平面AED. (2)平面DAF⊥平面BAF. [证明]　(1)因为DG＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD， 所以EF∥DG，EF＝DG. 所以四边形DEFG为平行四边形， 所以FG∥ED. 又因为FG⊄平面AED，ED⊂平面AED， 所以FG∥平面AED. (2)因为平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，且AD⊂平面ABCD， 所以AD⊥平面BAF. 又因为AD⊂平面DAF. 所以平面DAF⊥平面BAF. 2．(2018·安徽合肥一模)如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2. (1)若M为CD的中点，求证：AM⊥平面AA1B1B. (2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值． [解]　(1)证明：连接AC.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴△ACD为等边三角形．又∵点M为CD的中点，∴AM⊥CD. 由CD∥AB得，AM⊥AB.∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，∴AM⊥AA1. 又∵AB∩AA1＝A，AB⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，∴AM⊥平面AA1B1B. (2)∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，∴DM＝1，AM＝，∠AMD＝∠BAM＝90°. 又∵AA1⊥底面ABCD，则可分别以AB，AM，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，， ，0)，D1 ∴＝(2,0，－2)． ，0)，＝(－3，，＝ 设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)， 则有z. x＝即y＝得 令x＝1，则n＝(1，，1)． ∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值为 sinθ＝|cos〈n，.＝〉|＝ 3．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧上异于C，D的点．所在平面垂直，M是 (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． [解]　(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 当三棱锥M－ABC体积最大时，M为的中点． 由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，＝(2,0,0)． ＝(0,2,0)，＝(－2,1,1)， 设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则 即 可取n＝(1,0,2)． 是平面MCD的法向量，因此 cos〈n，.〉＝，sin〈n，＝〉＝ 4．(2018·沈阳二模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF. (1)求证：EF⊥平面BCF； (2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值． [解]　(1)证明：在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1， ∵AB∥CD，∠BCD＝，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－ 2AB·BC·cos＝3. ∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC. ∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C， ∴AC⊥平面BCF. ∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF. (2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ(0≤λ≤，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)， )，则C(0,0,0)，A( ∴＝(λ，－1,1)， ，1,0)，＝(－ 设平面MAB的法向量为n1＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则n1＝(1，－λ)，为平面MAB的一个法向量． ， 易知n2＝(1,0,0)是平面FCB的一个法向量， 设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ， 则cosθ＝＝ ＝. ∵0≤λ≤， ，∴当λ＝0时，cosθ有最小值 ∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB