2019高考数学（理）六大解答题突破（课件+讲义+优选习题）：突破三 数列的综合应用 (共3份打包)

突破训练(二十) 1．(2018·内蒙古包头一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值． (2)设bn＝an＋3，试说明数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　(1)当n＝1时，由S1＝a1＝2a1－3×1，得a1＝3； 当n＝2时，由S2＝a1＋a2＝2a2－3×2，可得a2＝9； 当n＝3时，由S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－3×3，得a3＝21. (2)因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)． 上述两式相减得an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)， 所以bn＋1＝2bn，且b1＝6. 所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝6×2n－1. 所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)． 2．(2018·长春实验中学一模)已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S. ＝an (1)求Sn的表达式． (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)当n≥2时，将an＝Sn－Sn－1代入S是以1为首项，2为公差的等差数列． ＝1，∴数列＝2，－中，得2SnSn－1＋Sn－Sn－1＝0，化简得＝an ∴. ＝2n－1，即Sn＝ (2)bn＝. ＝＝ ∴Tn＝.＝·＝ 3．已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4＝2a2，且a1,4，a4成等比数列，设数列{an}的前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式． (2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<3. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a4＝2a2，且a1,4，a4成等比数列，an>0， 所以解得 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)证明：由(1)知a1＝d＝2，则Sn＝2n＋. ＝×2＝n2＋n.所以 所以Tn＝，①＋…＋＋＋ .②＋＋…＋＋Tn＝ 由①－②得，. －＋…＋＋＋Tn＝ 所以Tn＝2＋<3. －＝3－－＝2＋－＋…＋＋ 故Tn<3. 4．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，且a1＝1，公比大于1的等比数列{bn}满足b2＝3，b1＋b3＝10. (1)求证数列{an}是等差数列，并求其通项公式； (2)若cn＝t－2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围． ，且cn≤t2＋ [解]　(1)因为4Sn＝a－4(n－1)－1， －4n－1，所以当n≥2时，4Sn－1＝a 得4an＝4Sn－4Sn－1＝a－4， －a 即a＋4an＋4＝(an＋2)2. ＝a 因为an>0，所以an＋1＝an＋2. 所以当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列， 又因为a1＝1，a＝4a1＋5＝9，所以a2＝3. 故{an}是首项为1，公差为2的等差数列． 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由题意得(舍去)． ＋b2q＝10，解得q＝3或q＝ 所以bn＝3n－1，cn＝. ＝ 由cn＋1－cn＝(2n＋1)·， (1－n)≤0，可得cn的最大值为c1＝n·n＝n＋1－(2n－1)· 由cn≤t2＋t－2对一切正整数n恒成立， 得. t－2，解得t≥1或t≤－≤t2＋ 即实数t的取值范围为∪[1，＋∞)． $$高考解答题突破(三)　数列的综合应用 突破“两归”——化归、归纳 [思维流程] [技法点拨] 1．由于数列是一个特殊的函数，也可根据题目特点，将其化归为函数问题，或通过对式子的改造，使其化归为可运用数列问题的基本方法． 2．对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的特殊的情景出发，从中归纳出一般性的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数学问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明． 考向一　等差、等比数列的证明 证明数列是等差(比)数列的两种基本方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；＝q(q是非零常数)⇒{an}是等比数列． (2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列． [解]　(1)由题意知，2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1， 巧造等差或等比判定方法 (1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可； (3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. [对点训练] 1．(2018·常州一