第2章 3.1 空间向量的运算、3.2 空间向量基本定理（课件）-2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-1）

第二章　空间向量与立体几何 § 3　向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1　空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2　空间向量基本定理 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1. 掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 2. 理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 3. 理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．空间向量的标准正交分解与坐标表示 在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基． __________叫作空间向量a的坐标，记作a＝__________.a＝__________叫作向量a的坐标表示． (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) 在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，向量eq \o(OP,\s\up15(→))的坐标也是____________. 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 2．投影 (1)一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的__________. 如图所示，向量a在向量b上的投影为OM＝|a|cos〈a，b〉． (2)向量的坐标等于它在坐标轴_______方向上的________. 投影 正 投影 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 3．空间向量基本定理 (1)如果向量e1，e2，e3是空间三个__________的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3. (2)空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个__________，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的__________.e1，e2，e3都叫作基向量． 不共面 基底 分解 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 (3)当向量e1，e2，e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解，当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解． 4．平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ 提示：空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 (1)设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，若a＝(3,7，－2)则a关于i，j，k的分解式为________. (2)设{i，j，k}是空间向量的一个单位的正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别是________. 解析： (1)根据空间向量坐标定义，a＝(3,7，－2)⇔a＝3i＋7j－2k. (2)根据空间向量坐标定义知a＝(2，－4,5)；b＝(1,2，－3)． 答案：(1)a＝3i＋7j－2k　(2)(2，－4,5)，(1,2，－3) 空间向量的坐标表示 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 【题后点评】　(1)建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线．建系时，通常建立右手直角坐标系． (2)空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是a＝xi＋yj＋zk⇔a＝(x，y，z)． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量eq \o(BN,\s\up15(→))，eq \o(BA1,\s\up15(→))，eq \o(A1B,\s\up15(→))的坐标． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 解：∵CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC