第2章 4 用向量讨论垂直与平行（课件）-2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-1）

第二章　空间向量与立体几何 § 4　用向量讨论垂直与平行 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系． 2．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理． 3．能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，培养学生的运算能力． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．立体几何中垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2. (1)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0. (2)线面垂直：l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)． (3)面面垂直：π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 2．立体几何中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2. (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝λb(λ∈R)． (2)线面平行：l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0.(lπ1)． (3)面面平行：π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 3．直线的方向向量与平面的法向量各有几个？它们各自的关系是怎样的？ 提示：直线的方向向量与平面的法向量各有无数个，它们都是对应的平行向量． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 (1)已知两条不同直线l1，l2的方向向量s1，s2，s1＝(1,1，－1)，s2＝(1,2,3), 则l1与l2________(填“平行”或“垂直”)． (2)已知两个不同平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，n1＝(2,1，－1)，n2＝(－4，－2,2)，则π1________π2(填“∥”或“⊥”)． (3)已知直线l的方向向量为s＝(1，－1,1)，平面π的法向量为n＝(3,7,4)，且lπ，则l________π(填“∥”或“⊥”)． 向量法判断简单的平行、垂直关系 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 解析：(1)∵s1·s2＝1×1＋1×2＋(－1)×3＝0， ∴s1⊥s2，∴l1⊥l2. (2)∵n2＝－2n1，∴n1∥n2，∴π1∥π2. (3)∵n·s＝1×3＋(－1)×7＋4×1＝0， ∴n⊥s， ∵lπ，∴l∥π. 答案：(1)垂直　(2)∥　(3)∥ 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 【题后点评】　利用向量法证明和讨论立体几何中的平行、垂直问题，即为判断直线的方向向量与平面法向量之间的平行与垂直． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 解析：∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 答案：B 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. [思路点拨]　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题． 利用向量法讨论平行问题 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 证明：如图所示，建立空间直角坐标系D­xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以eq \o(FC1,\s\up15(→))＝(0,2,1)，eq \o(DA,\s\up15(→))＝(2,0,0)，eq \o(AE,\s\up15(→))＝(0,2,1)． 课堂·互动探究 数学 选修2-1(配北师大版) 课前·自主学习 反馈·当堂达标 (1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥eq \o(DA,\