专题01 集合与简易逻辑-文科数学学科素养与能力突破

学科思想 训练题组 分类讨论思想 集合利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题．其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧．因此，有利于对学生能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系． 分类讨论问题的实质是：把整体问题化为部分问题来解决，从而增加了题设条件，这也是解分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次．学.科网 解分类讨论问题的步骤是：（1）确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重不漏，标准要统一，分层不越级）；（3）逐类讨论，即对各类问题逐类讨论，逐步解决；（4）归纳总结，即对各类情况总结归纳，得出结论． 例 已知A={x|–2≤x≤5}，B={x|k–1≤x≤2k+1}，求使A∩B= 的实数k的取值范围． 【思路分析】本题考查分类讨论的数学思想和集合的运算．解题的关键是确定分类标准为B= 和B≠ ． 【解析】①当B= ，即k–1>2k+1时，k<–2； ②当B≠ 时，由A∩B= ，得， 或 ， 解得 或k>6． 综上所述，k的取值范围为 或k>6． 【方法技巧】分类讨论的主要环节之一是确定分类讨论的标准，标准的确定是靠对题意的理解及解题思路的分析得到的． 1．设a，b都是非零实数，求 可能取得的值组成的集合__________． 2．已知集合A={x|kx2–8x+16=0}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 3．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 4．已知全集U=R，集合A={x|x2–x–6<0}，B={x|x2+2x–8>0}，C={x|x2– 4ax+3a2<0}，若 ⊆C，求实数a的取值范围． 数形结合思想 集合问题大都比较抽象，解题时尽可能借助Venn图、数轴等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观． 例 设A={x|–2<x<–1或x>1}，B={x|x2+ax+b≤0}．已知 A∪B={x|x>–2}，A∩B={x|1<x≤3}，试求a、b的值． 【思路