2018-2019数学新同步套餐（课件+讲义+习题）选修4-2苏教江苏专用版：2.5 特征值与特征向量 (共6份打包)

章末分层突破 一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用 设A＝即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.，得到一组非零解是一个二阶矩阵，λ是矩阵A的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量.欲求λ及α，可令A的特征多项式等于0，即可求出λ的值，将λ的值代入方程组 　求矩阵M＝的特征值及其对应的特征向量. 【解】　矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－1)(λ－1)－4＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1和3. 当λ＝－1时，联立，解得x＋y＝0 所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为. 当λ＝3时，联立，解得x＝y 所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为. 二、Anα的表示(计算) 设λ1，λ2是二阶矩阵M的两个不同特征值，矩阵M的属于特征值λ1，λ2的特征向量分别为α1，α2，则平面上任一非零向量β可表示为β＝s α1＋t α2(其中s，t为实数)，则Mnβ＝Mn(s α1＋t α2)＝sλα2(n∈N*).α1＋tλ 　若矩阵A有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们所对应的特征向量分别为α1＝.，α2＝ (1)求矩阵A和其逆矩阵A－1； (2)已知α＝，试求A100α. 【解】　(1)设矩阵A＝.，其特征多项式为f(λ)＝ ∵当λ1＝2时，其特征向量为α1＝， ∴∴ 同理当λ2＝－1时，其特征向量为α2＝， ∴∴ ∴A＝，det(A)＝－2， ∴A－1＝－.＝ (2)设α＝s α1＋t α2， 则， ＋t＝s ∴s＝1，t＝16. ∴A100α＝1×2100×＋16×(－1)100× ＝.＝＋ 三、函数方程思想的应用 本章不论是由矩阵求特征值，还是已知矩阵的特征值与特征向量求该矩阵，都需要解方程(组)或构建方程(组)求解. 　已知二阶矩阵A的属于特征值－3的一个特征向量为，求矩阵A. ，属于特征值8的一个特征向量为 【导学号：30650054】 【解】　设A＝， 由题意知， ＝－3 ， ＝8 即解得 ∴A＝. 3 $$ 知识网络构建 专题归纳提升 章末综合检测 章末分层突破 一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用 设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))是一个二阶矩阵，λ是矩阵A的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量.欲求λ及α，可令A的特征多项式等于0，即可求出λ的值，将λ的值代入方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－a）x－by＝0，,－cx＋（λ－d）y＝0，))得到一组非零解eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量. 　求矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　2,2　1))的特征值及其对应的特征向量. 【解】　矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1　　－2,－2　　λ－1))＝(λ－1)(λ－1)－4＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1和3. 当λ＝－1时，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－2y＝0,－2x－2y＝0))，解得x＋y＝0 所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(　1,－1)). 当λ＝3时，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2y＝0,－2x＋2y＝0))，解得x＝y 所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1)). 二、Anα的表示(计算) 设λ1，λ2是二阶矩阵M的两个不同特征值，矩阵M的属于特征值λ1，λ2的特征向量分别为α1，α2，则平面上任一非零向量β可表示为β＝s α1＋t α2(其中s，t为实数)，则Mnβ＝Mn(s α1＋t α2)＝sλeq \o\al(n,1)α1＋tλeq \o\al(n,2)α2(n∈N*). 　若矩阵A有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们所对应的特征向量分别为α1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，α2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1)). (1)求矩阵A和其逆矩阵A－1； (2)已知α＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(　1,16))，试求A100α. 【解】　(1)设矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))，其特征多项式为f(λ)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(