2018-2019数学新学案同步（实用课件+精致讲义+精选练习）选修2-1苏教版：第3章　空间向量与立体几何（3.1） (共8份打包)

§3.1　空间向量及其运算 3.1.1　空间向量及其线性运算 学习目标　1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律． 知识点一　空间向量的概念 思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||. (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点二　空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算 已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： ＝＋＝a＋c； ＝－＝a－b＝－c. 若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a＋b＝b＋a； (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)． 知识点三　共线向量(或平行向量) 1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 1．在空间中，单位向量唯一．(×) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√) 4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×) 类型一　空间向量的概念及应用 例1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个． (2)向量的相反向量有，，，，共4个． (3)||＝ ＝＝＝3. 引申探究 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为的所有向量． 解　(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． (2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有，，，，，，，. 反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 跟踪训练1　给出以下结论： ①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中不正确的命题的序号为________． 答案　①② 解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确． 类型二　空间向量的线性运算 例2　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量． (1)－； (2)＋＋. 解　(1)－＝－＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 向量，如图所示． 引申探究 利用本例题图，化简＋＋＋. 解　结合加法运算，得 ＋＝，＋＝，＋＝0. 故＋＋＋＝0. 反思与感悟　1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止． 2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0. 跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2. 证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴＝＋，＝＋，＝＋， ∴＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝2(＋＋)． 又∵＝，＝， ∴＋＋＝＋＋＝