2017-2018学年湘教版数学选修2-2（课件+当堂检测+分层训练）4.2 导数的运算 (6份打包)

4．2　导数的运算 4．2.1　几个幂函数的导数 4．2.2　一些初等函数的导数表 一、基础达标 1．下列结论中正确的个数为 (　　) ①y＝ln 2，则y′＝；③y＝2x，则y′＝2xln 2；，则y′|x＝3＝－；②y＝ ④y＝log2x，则y′＝. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确． 2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为 (　　) A.或 B. C. D. 答案　B 解析　y′＝，故选B.＝－4，x＝±′＝－ 3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于 (　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　A 解析　f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4. 4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有 (　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 答案　B 解析　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x处有斜率为1的切线．和点，即在点＝1，得x0＝± 5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________． 答案　x＋y－6＝0 解析　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0. 6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________. 答案　64 解析　 ∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程为． 令x＝0得；令y＝0得x＝3a. ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·3a·＝18，∴a＝64. 7．求下列函数的导数： (1) y＝； ；(3)y＝－2sin ；(2)y＝ (4)y＝log2x2－log2x. 解　(1)y′＝. ′＝＝ (2)y′＝. ′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－ (3)∵y＝－2sin ＝2sin ＝sin x， cos ＝2sin ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝. 二、能力提升 8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为 (　　) A. C．－e D．e B．－ 答案　D 解析　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 ∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. 9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______. 答案　1 解析　y′＝＝1，∴a＝1.，∴y′|x＝a＝ 10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________． 答案　 解析　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为. 11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值． 解　∵f(x)＝cos x，g(x)＝x， ∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z. 12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以x0＝， ，所以切点坐标为 切点到直线x－y－2＝0的距离 d＝， ＝ 所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为. 三、探究与创新 13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)． 解　f1(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4， ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x. $$ 4．2.3　导数的运算法则 一、基础达标 1．设y＝－2exsin x，则y′等于 (　　) A．－2excos x B．－2exsin x C