2017-2018学年湘教版数学选修2-2（课件+当堂检测+分层训练）4.3 导数在研究函数中的应用 (9份打包)

4.3　导数在研究函数中的应用 4．3.1　利用导数研究函数的单调性 一、基础达标 1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 2．函数y＝x2－ln x的单调减区间是 (　　) A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞) 答案　A 解析　∵y＝，令y′<0，x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－ 即x－<0，解得：0<x<1或x<－1. 又∵x>0，∴0<x<1，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是 (　　) A．增函数 B．减函数 C．常函数 D．既不是增函数也不是减函数 答案　A 解析　求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的 Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)是增函数． 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 (　　) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 答案　B 解析　显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C，y′＝3x2－1＝3， 故函数在上为增函数， ， 在－1 (x＞0)． 上为减函数；对于D，y′＝ 故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数．故选B. 5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________． 答案　∪[2,3) 6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________． 答案　(－∞，－1) 解析　f′(x)＝＜x＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．，令f′(x)＜0得x＜－1或 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间． 解　f′(x)＝3x2＋a. ∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根， ∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75， 令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)． 二、能力提升 8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是 (　　) 答案　A 解析　由f(x)与f′(x)关系可选A. 9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有 (　　) A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x) C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b) 答案　C 解析　∵f′(x)－g′(x)＞0， ∴(f(x)－g(x))′＞0， ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数， ∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)， ∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)． 10．(2013·大纲版)若函数f(x)＝x2＋ax＋是增函数，则a的取值范围是________． 在 答案　[3，＋∞) 解析　因为f(x)＝x2＋ax＋上是增函数， 在 故f′(x)＝2x＋a－上恒成立， ≥0在 即a≥上恒成立． －2x在 令h(x)＝－2， －2x，则h′(x)＝－ 当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数， 所以h(x)＜h＝3，所以a≥3. 11．求下列函数的单调区间： (1)y＝x－ln x； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2. 解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－， 由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1. ∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为. ∵y＝ln(2x＋3)＋x2， ∴y′＝. ＝＋2x＝ 当y′＞0，即－时， ＜x＜－1或x＞－ 函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增； 当y′＜0，即－1＜x＜－时， 函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减． 故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为.，单调递减区间为， 12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)