2017-2018学年湘教版数学选修2-2（课件+当堂检测+分层训练）4.4 生活中的优化问题举例 (3份打包)

4.4　生活中的优化问题举例 一、基础达标 1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 (　　) A．4 B．6 C．4.5 D．8 答案　A 解析　设底面边长为x，高为h， 则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝， ∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·， ＝x2＋ ∴S′(x)＝2x－. 令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4. 2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为 (　　) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6 答案　B 解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)． 所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2. 令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)． 当0<x<0.032 4时，y′>0； 当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0. 所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为 (　　) A.3π 3π D.3π C.3π B. 答案　A 解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝. πr2－2πr3，V＝πr2h＝ 则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0， ∴r＝是其唯一的极值点． ∴当r＝3π.时，V取得最大值，最大值为 4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为 (　　) A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000 cm3 答案　B 解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)． 水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (0<x<120)． V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 cm时，V取最大值为128 000 cm3. 5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案　3 解析　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝， ，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π· ∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小． 6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________． x3－ 答案　40 解析　由题设知y′＝x2－39x－40， 令y′＞0，解得x＞40，或x＜－1， 故函数y＝x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值． x3－ 由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解　设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为 S(x)＝(x＋4)－128 ＝2x＋＋8，x>0. 求导数，得S′(x)＝2－. 令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)． 于是宽为＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0； ＝ 当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0. 因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点． 所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升 8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 (　　) A. cm2 cm2 D．2 cm2 B．4 cm2 C．3 答案　D 解析　设一个正三角形的边长为xcm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝(cm2)，故选D.[(x－2)2＋4]≥2(4－x)2＝x2＋ 9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产