2017-2018学年湘教版数学选修2-2（课件+当堂检测+分层训练）6.2 直接证明与间接证明 (6份打包)

6．2　直接证明与间接证明 6．2.1　直接证明：分析法与综合法 一、基础达标 1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 (　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若，则a>b> C．若a3>b3且ab<0，则> D．若a2>b2且ab>0，则< 答案　C 解析　对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，则D不成立．，故C对；对于D：若>，所以 2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 答案　C 解析　由正弦定理，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.＝ 3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β. 其中正确命题的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确； 若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确； 若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有 (　　) A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab<<ab<1 <1 D. 答案　B 解析　因为a≠b，故>ab. 又因为a＋b＝2>2， 故ab<1，>1>ab.＝2－ab>1，即＝ 5．要证明，可选择的方法有很多，最合理的应为________． <2＋ 答案　分析法 6．设a＝，则a，b，c的大小关系为________． －，c＝－，b＝ 答案　a>c>b 解析　∵a2－c2＝2－(8－4＞1，∴c＞b.＝＝>0，∴a>c.∵－－6＝)＝4 7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明　法一　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋ 2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0， 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 法二　要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0， 只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0， 3a2－2b2>2a2－2b2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升 8．设0<x<1，则a＝中最大的一个是x，b＝1＋x，c＝ (　　) A．a B．b C．c D．不能确定 答案　C 解析　∵b－c＝(1＋x)－<0， ＝－＝ ∴b<c.又∵b＝1＋x>x＝a，∴a<b<c. 9．已知a，b为非零实数，则使不等式：≤－2成立的一个充分不必要条件是＋ (　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b<0 D．a>0，b>0 答案　C 解析　∵<0， <0，≤－2，知＋同号，由与 即ab<0.又若ab<0，则<0. <0， ∴≤＝－＋ －2＝－2， 综上，ab<0是≤－2成立的充要条件， ＋ ∴a>0，b<0是≤－2成立的一个充分而不必要条件．＋ 10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案　对角线互相垂直 解析　本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可． 11．已知a＞0，. ＞＞1.求证：－ 证明　要证成立， ＞ 只需证1＋a＞， 只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1， ∴a－b＞ab，只需证：＞1. －＞1，即 由已知a＞0，＞1成立， － ∴成立．＞ 12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切． 证明　如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB| 由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)， 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦