2017-2018学年湘教版数学选修2-2（课件+当堂检测+分层训练）6.3 数学归纳法 (6份打包)

6.3　数学归纳法(一) 一、基础达标 1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得 n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出 (　　) A．当n＝6时命题不成立 B．当n＝6时命题成立 C．当n＝4时命题不成立 D．当n＝4时命题成立 答案　B 2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则 (　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 答案　B 解析　由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立． 3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于 (　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C. 4．若f(n)＝1＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是＋…＋＋ (　　) A．1 B. C．1＋ D．以上答案均不正确 ＋ 答案　C 5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________． 答案　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析　由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项． 6．已知f(n)＝(n∈N*)，则f(k＋1)＝________. ＋…＋＋ 答案　f(k)＋－＋＋ 7．用数学归纳法证明(n∈N*)． ＝… 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－，等式成立． ＝，右边＝＝ (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 ， ＝… 当n＝k＋1时， ， ＝＝＝＝·… 所以当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立． 二、能力提升 8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为 (　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 答案　B 解析　n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)． 9．已知f(n)＝，则＋…＋＋＋ (　　) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1， ∴项数为n2－n＋1. 10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________． 答案　缺少步骤(1)，没有递推的基础 证明　假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立． 11．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·. 证明　(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立． (2)假设当n＝k时，结论成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·， 那么当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k·(k＋1) ＝(－1)k·. ＝(－1)k＋1－1· 即n＝k＋1时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立． 12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式； (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式． (1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝. (2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立， 即ak＝5×2k－2， 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2. ＝5＋＝5×2k－1＝5×2(k＋