2018学年数学新创新同步（实用课件+精致讲义+精选试题）苏教选修2-1：第2章 圆锥曲线与方程（2.4-2.6） (共16份打包)

_2.5圆锥曲线的统一定义 抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F的距离与到定直线(准线)l的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F(c,0)，定直线x＝.的距离的比为(a>0，c>0)．动点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与到定直线x＝ 问题1：求动点P(x，y)的轨迹方程． 提示：由，＝ 化简得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)． 问题2：当a>c，即0<<1时，轨迹是什么？ 提示：椭圆． 问题3：当a<c，即>1时，轨迹是什么？ 提示：双曲线． 圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 当0＜e＜1时，它表示椭圆， 当e＞1时，它表示双曲线， 当e＝1时，它表示抛物线． 其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？ 提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线． 椭圆、双曲线和抛物线的准线方程 曲线方程 准线方程 曲线方程 准线方程 ＝1(a＞b＞0)＋ x＝± ＝1(a＞b＞0)＋ y＝± ＝1(a＞0，b＞0)－ x＝± ＝1(a＞0，b＞0)－ y＝± y2＝2px(p＞0) x＝－ x2＝2py(p＞0) y＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝－2py(p＞0) y＝ 圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别 椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的． [例1]　过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________． [思路点拨]　利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e的范围即可判断． [精解详析]　设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝.由题意知R＞d，则e＞1，圆锥曲线为双曲线．＝＝，R＝ [答案]　双曲线 [一点通]　解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e＝.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．＝ 1．方程 ＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为________． 解析：由＝|x＋y－1| 得.＝ 可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线． 答案：双曲线 2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状． 解：设圆锥曲线的离心率为e，M是AB中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R， 则d＝， R＝.＝＝ 当圆与准线相离时，R＜d， 即，＜ ∴0＜e＜1，圆锥曲线为椭圆． 当圆与准线相切时，R＝d， ∴e＝1，圆锥曲线为抛物线. [例2]　已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹． [思路点拨]　此题解法有两种一是定义法，二是直译法． [精解详析]　法一：由圆锥曲线的统一定义知：P点的轨迹是一椭圆，c＝3，，＝9，则a2＝27，a＝3 ∴e＝，与已知条件相符．＝ ∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9. b2＝18，其方程为＝1.＋ 法二：由题意得.＝ 整理得＝1.＋ P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆． [一点通]　解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程． 3．平面内的动点P(x，y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2，求动点P的轨迹． 解： 如图：作PM⊥x轴于M，延长PM交直线y＝－2于点N. ∵PF－PM＝2， ∴PF＝PM＋2. 又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN. ∴P到定点F与到定直线y＝ －2的距离相等． 由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点，以y＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p＝4. ∴抛物线方程为x2＝8y(y>0)． ∴动点P的轨迹是抛物线． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，直线l：x＝－2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的倍．设动点M的轨迹曲线为E. (