2017-2018学年九年级数学湘教版下册难点专题：二次函数的综合性问题(选做)

难点专题：二次函数的综合性问题(选做) ——代几结合，突破最值及点的存在性问题 类型一　二次函数中的线段(和、差)或周长最值问题 1．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线的对称轴直线l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标． 2．如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B. (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)若某一次函数的图象经过A，B两点，试求出该一次函数的表达式； (3)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值． 类型二　二次函数与三角形的综合 一、特殊三角形的存在性问题 3．(2017·怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标． 4．阅读材料：如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P的坐标为(xp，yp)．由xp－x1＝x2－xp，得xp＝..由勾股定理得AB2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2，所以A，B两点间的距离公式为AB＝，所以AB的中点坐标为P，同理得yp＝ 注：上述公式对A，B在平面直角坐标系中其他位置也成立． 解答下列问题： 如图②，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，连接BC. (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，试求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 二、面积问题 5．(2017·齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点． (1)求此抛物线的表达式； (2)直接写出点C和点D的坐标； (3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标． 类型三　二次函数与特殊四边形的综合 6．二次函数y＝x2的图象上，四边形OBA