高考中的常微分方程的解题方法

“常微分方程”在高中数学的应用 高中已经学习了求导，并且进一步学习了定积分与不定几分，以及微积分基本定理。在高考题中也常常出现一些简单的常微分方程，这里谈及几种高考常见的微分方程，以及相应的解法。 1、 理论基础 高考中常见的是简单的线性常微分方程，基本形式是 ，这类为题有其公式可以求解，即 。高中阶段，可以用以下方法求解。 例1：函数 在其定义域内满足 ，其中 为函数 的导函数， ，则函数 A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值 C 既有极大值又有极小值 D 既无极大值又无极小值 解： 化为 。考虑 ， ， 将 两边同时乘以 ，可得 。 考虑 ，所以有 ，即 。 即 。考虑 ，解得 ，因此 。 所以 。令 ，则 。 当 时， ，当 时， 。故当 时， 取最大值0。 因此 ，因此 对任意 恒成立，因此 无极值，选D。 理论上利用线性微分方程得解法是可以解决高中的所有问题，但是由于高中生只能作简积分，而对于一些函数的几分会无能为力，因此这种方法未必适合所有的高中生。 2、 乘法法则的应用 有些高中阶段的微分方程可以参照乘法法则来求解。 例2：(2013辽宁，理12)设函数 满足 ， ，则 时， (　　)． A 有极大值，无极小值 B 有极小值，无极大值 C 既有极大值又有极小值 D 既无极大值又无极小值 解：令 ，则 ， ， 由 得 。 令 ， ， 。 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以 单调递增在 上无极值，选D。 例3：函数 导函数为 ，且满足 ，求 。 解：考虑到 ，所以 。考虑 有 ，得 ，所以 。三、除法法则的应用 有的时候可以转化为除法法则，不过要先确定好分母的函数。 例4：（2015高考新课标2）设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：由题意得当 时， ，即 ，设 ， 所以 在 上单调递减。又因为 为奇函数，并且 ，所以 。 即 。又因为 在 上单调递减， 所以 时， ， ；当 时， ， 。 由于 是奇函数，所以 时， ； 时， 。 综上， 的解集为 ，选A。 四、指数函数的应用 由于 的导数是它本身，并且恒为正数，所以解决这类问题经常用到。 例5：已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，若对于任意实