[中学联盟]云南省峨山彝族自治县第一中学2017-2018学年人教版高中数学选修1－1备考学案：第三章 导数应用

备考学案四 导数及其应用 一、导数的概念及意义 1.函数 从 到 的平均变化率: . 2.导数的物理意义:瞬时变化率.一般地,函数 在 处的瞬时变化率是 ,我们称它为函数 在 处的导数,记作 或 ,即 EMBED Equation.DSMT4 . 3.导数的几何意义:曲线的切线的斜率.函数 在 处的导数就是切线PT的斜率k,即k EMBED Equation.DSMT4 . 4.导函数:当x变化时, 便是x的一个函数,我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即 . 例1:曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为( ) . A.(-2,-8) B.(1,1),(-1,-1) C.(2,8) D.(-) ,- 例2:曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) . A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 二、导数公式与运算法则 1.常见函数的导数公式: ① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ ; ⑥ ; ⑦ ; ⑧ . 2.导数运算法则: (1) ; (2) ; (3) . 3.复合函数求导: 和 ,则y可以表示成为x的函数,即 为一个复合函数 . 例1:函数y=x•lnx的导数是( ) . A.y′=x B.y′= C.y′=lnx+1 D.y′=lnx+x 例2:已知f(x)=ax3+3x2+2,若f ′(-1)=4,则a的值是( ) . A. B. C. D. 例3:已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f ′(x)为f(x)的导函数. 若f ′(1)=3,则a的值为_. 例4:函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0),在区间(0,1)内求实数a,使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB. 例5:已知函数f(x)=x3+x-16 . (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标; (3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 三、导数与单调性、极值、最值 1.根据导数确定函数的单调区间步骤: (1)确定函数 的定义域; (2)求出函数的导数; (3)在某个区间 内,若 ,则函数 在这个区间内单调递增;若 ,则函数