[中学联盟]云南省峨山彝族自治县第一中学2017-2018学年人教版高中数学选修1－1备考学案：第三章 导数及其应用

备考学案五 导数及其应用 考点1.导数的运算与导数的几何意义 导数的运算,要熟练掌握基本导数公式和运算法则.由于函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试导数的方法解决. 例1.设抛物线C1:y1=x2-2x+2与抛物线C2:y2=-x2+ax+b在它们的一个公共点处的切线互相垂直. (1)求a、b之间的关系; (2)若a>0,b>0,求ab的最大值. 规律方法:函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k. 1 曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2 求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程 (i)若P(x0,y0)是切点,则切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0); (ii)若P(x0,y0)不是切点,设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过P点得 y0-y1=f′(x1)(x0-x1)① 又y1=f(x1)② 由①②求出x1、y1的值,即得出了过点P(x0,y0)的切线方程. 变式训练1.已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标. [来源:学科网ZXXK] 考点2.利用导数研究函数的性质 把导数作为数学工具,求解单调区间,研究函数的极大(小)值,以及求在闭区间[a,b] 最大(小)值是本章的重点. 利用导数求函数的单调性是基础,求极值是关键,学习时一定要熟练它们的求解方法. 例2.已知a、b为常数且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b. (1)函数f(x)的极大值为2,求a、b间的关系式; (2)函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-,求a、b的值. 变式训练2.已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值. (1)确定a的值; (2)若 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\ADMINI~1\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\