2017-2018学年高中数学（人教B版）选修1-1 名师讲义： 第二章 2．1　椭圆

_2.1椭__圆 2．1.1　椭圆的标准方程 椭圆的定义 取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖． 问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？ 提示：线段F1F2. 问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离，移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？ 提示：|MF1|＋|MF2|＝L. 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的标准方程 在平面直角坐标系中，若A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)． 问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则P点的轨迹方程是什么？ 提示：轨迹方程为＝1.＋ 问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则P点的轨迹方程是什么？ 提示：＝1.＋ 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1 ＋ (a>b>0) ＝1 ＋ (a>b>0) 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a、b、c的关系 c2＝a2－b2 1．平面内到两定点F1，F2的距离和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在． 2．标准方程中根据x2，y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上，x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上． 3．标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，是椭圆定形的条件．a，b，c三个量满足：a2＝b2＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形，称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义． 椭圆的定义的应用 [例1]　如图所示，已知椭圆的方程为＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． ＋ [思路点拨]　由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解． [精解详析]　由已知a＝2，b＝， 得c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2， ＝ 在△PF1F2中，由余弦