[中学联盟]安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学选修1-1教案：3导数及其应用 (8份打包)

§3.1.1变化率问题 项目 内容 课题 （共 1 课时） 修改与创新 教学 目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重、 难点 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学 准备[来源:学+科+网Z+X+X+K] 多媒体课件 教学过程 一、导入新课： 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、讲授新课： （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? · 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 · 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 分析: ，[来源:学.科.网Z.X.X.K] 1 当V从0增加到1时,气球半径增加了 [来源:学|科|网] 气球的平均膨胀率为 2 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态? 思考计算： 和 的平均速度 在 这段时间里， ； 在 这段时间里， 探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ， 所以 ， 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2．若设 , (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 ) 3． 则平均变化率为 EMBED Equation.3 思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率 EMBED Equation.3 表示什么? 直线AB的斜率 [来源:学+科+网Z+X+X+K] 三．典例分析 例1．已知函数f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则 ． 解： ， ∴ 例2． 求 在 附近的平均变化率。 解： ，所以 所以 在 附近的平均变化率为 四．课堂练习 1．质点运动规律为 ，则在时间 中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 课堂小结： 1．平均变化率的概念 2．函数在某点处附近的平均变化率 布置作业： P.79 1，2 板书设计 §3.1.1变化率问题 问题1 气球膨胀率 问题2 高台跳水 平均变化率的概念 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 设 , 则平均变化率为 EMBED Equation.3 例1 例2 教学反思 以实例引入平均变化率的概念，利于学生对此概念的理解和掌握。在给出平均变化率概念以后，再结合实例说明 可以取正，也可以取负。 为导数几何意义的学习做铺垫，再画图让学生分析平均变化率的几何解释。 附件1：律师事务所反盗版维权声明 附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看） 学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060 t h o x2 △x= x2-x1 f(x2) y △y =f(x2)-f(x1) f(x1) x1 x O $$ §3.1