初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十四 梅涅劳斯定理和塞瓦定理（PDF版）

十四、梅温夢斯定理和寥瓦定理冬 十四、梅涅劳斯定理和塞瓦定理 [竞赛要点] 在数学竞赛中,有一些定理如梅涅劳斯( Menelaus)定理、塞瓦(ceva)定理等都有广 泛的应用它们是研究三角形中共点线与共线点问题的两个互为对偶的著名定理,利用 它们,可以有效而简捷地解决有关问题 [方法述要] 梅涅劳斯定理一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长 线于点D,E,F,那么 BD CE AF 初中数学竞赛培优教程 DC EA FB 证明如图141,过C点作CG∥DF交AB于G,则 图14 BD BF CE GF DCFG’EAFA ∴ BD CE AF BF GF AF DC EA FB FG FA FB=1. 说明应用梅涅劳斯定理时,首先要找出是哪条直线截三角形三边及其延长线,即 专找到三个共线点;其次是顺次列出三角形的顶点与这三个共线点所组成的线段,这里可 题以是顺时针,也可以是逆时针循环;最后列出比例式,如本题证明中列出的线段依次是 讲 座BD,DC,CE,EA,AF,FB,当然这里也可以从AF或CE出发列出线段 塞瓦定理设O是△ABC内任意一点,AO, BO,CO分别交对边于N,P,M,则AM,BNCP=1 MB NC PA 证明过C作l∥AB,延长AN,BP分别交l于 E,D,则△ABN∽△ECN,△ABP∽△CDP BN AB CP CD NC EC'PA AB 又∵△AMO∽△ECO,△BMO∽△DCO, 图14-2 AM MO CD OC CE OC MB MO 兵十四、梅湿劳斯定现和寒瓦定理 AM BN CP AM AB CD AM CD MO OC ¨MB NC ¨pA=MB‘EC‘AB=CEMB=OCMO=1 说明梅涅劳斯定理和塞瓦定理的证明方法很多,如这里证明塞瓦定理是利用三 角形相似,另外也可以用等积变形、平行线分线段成比例定理等求证 另外,梅涅劳斯定理和塞瓦定理的逆命题仍然成立,即存在逆定理 赛题精析 例1如图143.已知B=号,CE=3,求比的值 分析把DFE看成是△ABC的截线,利用梅涅劳斯定理2 证明 解把DFE看作△ABC的截线,由梅涅劳斯定理得 图14-3 AD BF CE DB FC EAI AC 4,CE 3 DB CE3’EA7 bF 3 .BF14 2FC'7=1 FC 15 例2如图144,设AD为△ABC的一条中线,作