2017-2018学年高中数学（苏教版 选修2-3）（课件+检测+教师用书）：1.4计数应用题 (3份打包)

阶段一 阶段二 学业分层测评 1.4　计数应用题 1．利用两个基本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题．(重点) 2．掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法．(难点) [小组合作型] 可化为排数(队)问题的计数问题 　(1)有五张卡片的正、反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成________个不同的三位数． (2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有________种． (3)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中A，B，C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)． 【精彩点拨】　(1)法一(直接法)，分有“0,1”卡和无“0,1”卡两类；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形． (2)“插空法”分类求解． (3)C＝0，从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素给A，B便可． 【自主解答】　(1)法一(直接法)： 依“元素”分类，满足条件的三位数有以下三类：①不要0与1的有Ceq \o\al(3,4)Aeq \o\al(3,3)·23个；②要1不要0的有Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)·22个；③要0不要1的有2Ceq \o\al(2,4)·22·Aeq \o\al(2,2)个． 故共可组成不同的三位数： Ceq \o\al(3,4)Aeq \o\al(3,3)·23＋Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)·22＋2Ceq \o\al(2,4)·22·Aeq \o\al(2,2)＝432(个)． 法二(间接法)： 把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有Ceq \o\al(3,5)·Aeq \o\al(3,3)种，再正反面交换，有23种，故总数为Ceq \o\al(3,5)Aeq \o\al(3,3)·23，其中0在百位上时不符合要求，有Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(2,2)·22，故可得到不同的三位数Ceq \o\al(3,5)Aeq \o\al(3,3)·23－Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(2,2)·22＝432(个)． 【答案】　(1)432　(2)120　(3)30 (2)分两类：(1)先排歌舞类有Aeq \o\al(3,3)＝6种排法，再将其余的三个节目插空．如图所示，或者，此时有2Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝72种；(2)先排歌舞类有Aeq \o\al(3,3)＝6种排法，其余的两个小品与相声排法如图△，或者△，有4Aeq \o\al(3,3)Ceq \o\al(1,2)＝48，所以共有72＋48＝120种不同的排法． (3)因为直线过原点，所以C＝0，因此只需从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素分别作为A，B便可，共有Aeq \o\al(2,6)种不同取法，对应Aeq \o\al(2,6)＝30条不同直线． 1．本例(2)在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面． 2．实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解，但要搞清特殊元素(或位置)选择恰当的方法计数． [再练一题] 1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________. 【导学号：29440018】 【解析】　首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共Aeq \o\al(2,5)＝20种排法，因为eq \f(3,1)＝eq \f(9,3)，eq \f(1,3)＝eq \f(3,9)，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18. 【答案】　18 分组、分配问题中的计数问题 　有6本不同的书，按照以下要求处理，分别有多少种不同的分法： (1)将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)将6本书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本； (4)将6本书平均分给三个人，每人两本． 【精彩点拨】　 【自主解答】　(1)不平均分组问题．先在6本书中任取一本，作为一堆，有Ceq \o\al(1,6)种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有Ceq \o\al(2,5)种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有Ceq \o\al(3,3)种取法，故一共有Ceq \o\al