2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.4.4　平摆线与圆的渐开线 (3份打包)

学业分层测评(十三) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．求平摆线(0≤t＜2π)与直线y＝1的交点的直角坐标． 【解】　由题意知，y＝1－cos t＝1，∴cos t＝0， ∴sin t＝1， ∴t＝2kπ＋(k∈Z)， 又∵0≤t＜2π， ∴t＝－1. .∴x＝ ∴交点的直角坐标为(－1,1)． 2．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积． 【解】　把已知点(3,0)代入参数方程得 解得所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π. 3．已知摆线的生成圆的直径为80 mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高． 【解】　因为摆线的生成圆的半径r＝40 mm，所以此摆线的参数方程为 它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)． 4．抛物线y2－2x－6ysin θ－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程． 【解】　抛物线方程可化为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)，所以其顶点的参数方程为＝1.＋普通方程为 5．已知椭圆(θ为参数)，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不在x轴上的一点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程． 【解】　F1(－3,0)、F2(3,0)，设P(5cos θ，4sin θ)、G(x，y)，所以G的轨迹方程为(θ为参数，sin θ≠0)． 6．如图4­4­9，已知半圆x2＋y2＝1(y≥0)，定点A(－2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线． 【导学号：98990040】 图4­4­9 【解】　设轨迹上任意一点为P(x，y)， 又设D(x0，y0)，∠xOB＝θ(0≤θ≤π)， 则B(cos θ，sin θ)，|， |＝|且|⊥＝(x0＋2，y0)．由＝(cos θ＋2，sin θ)， 得 解得 因为P是BD的中点，所以 为半径的半圆的一部分．)，它表示以(－1,1)为圆心，≤y≤，≤x≤－(－(0≤θ≤π)．消去θ，得点P的轨迹方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝ 7．如图4­4­10所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程． 图4­4­10 【解】　当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)， 向量＝(2sin α，2cos α)， ＝(2α，2)，向量 ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＋＝ ＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)， 所以 这就是所求摆线的参数方程． [能力提升] 8．求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 【解】　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则AM＝＝4θ. 的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记 作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得 ＝(4cos θ，4sin θ)． 由几何知识知 ∠MAB＝θ， ＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得＋＝ ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又＝(x，y)， 因此有 这就是所求圆的渐开线的参数方程． 4 $$4.4.4　平摆线与圆的渐开线 1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程． 2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位． 3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性． [基础·初探] 1．平摆线 (1)如图4­4­7所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开始时位于O处，圆(半径为r)在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过θ(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于的长，即OB＝rθ.这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件．我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线． 图4­4­7 (2)以定直线为x轴，点O为原点建立直角坐标系，则定点P(x，y)的参数方程为(θ为参数)． 2．圆的渐开线 有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定