2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.1.3　球坐标系与柱坐标系 (3份打包)

学业分层测评(三) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．把下列各点的球坐标化为直角坐标： (1)M； ；(2)N (3)P. 【解】　(1)设点M的直角坐标为(x，y，z)，M在xOy平面内的射影为M′，则OM′＝2 sin＝0. ，z＝2cos＝＝1，y＝2sin＝2.于是x＝2cos 故点M的直角坐标为(1，，0)． (2)x＝5sin， ＝sin＝0，y＝5sincos z＝5cos， ＝－ 点N的直角坐标为. (3)x＝9sin， ＝－cos y＝9sin. ＝－，z＝9cos＝sin ∴点P的直角坐标为. 2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标： (1)Q； ；(2)R (3)S. 【解】　(1)x＝0，y＝5， 故点Q的直角坐标为 Q(0,5，－2)． (2)x＝6cos， ＝3＝－3，y＝6sin 故点R的直角坐标为R(－3,3，4)． (3)x＝8cos，－3)．，－4，故点S的直角坐标为S(－4＝－4，y＝8sin＝－4 3．已知长方体ABCD­A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标． 【导学号：98990008】 【解】　如图，C1点的直角坐标(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1；C1点的柱坐标(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠BAC、CC1；C1点的球坐标(r，θ，φ)分别对应着AC1、∠BAC、∠A1AC1. C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为)． ，tan θ＝，φ，θ)(其中cos φ＝)，C1点的球坐标为(2(其中tan θ＝ 4．在球坐标面内，方程r＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝表示空间中的什么曲面？ 【解】　方程r＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝的圆锥面，中心轴为z轴．表示顶点在原点，半顶角为 5．在球坐标系中，求两点P的距离． ，Q 【解】　将P，Q两点球坐标转化为直角坐标： P：x＝3sin， ＝·cos y＝3sin， ＝·sin z＝3cos， ＝ ∴P点的直角坐标为. Q：x＝3sin， ＝－·cos y＝3sin， ＝，z＝3cos＝·sin ∴Q点的直角坐标为. ∴|PQ|＝ ＝.，即PQ的距离为 6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标． 【解】　以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系．过O点与面BCD垂直的线为z轴． 过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，则 BA′＝， ＝，AA′＝＝× ∠A′Bx＝， ＝－ 则A(，0)．，0)，D(3，)，B(0,0,0)，C(3，，， 7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来． 【解】　以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，2.8)．，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此点A的柱坐标为(203，＝× [能力提升] 8．如图4­1­10建立球坐标系，正四面体ABCD的边长为1，求A、B、C、D的球坐标(其中O是△BCD的中心)． 图4­1­10 【解】　∵O是△BCD的中心， ∴OC＝OD＝OB＝. ，AO＝ ∴C()， ，，，0)，D(， B(，0,0)．)，A(，， 4 $$4.1.3　球坐标系与柱坐标系 1．球坐标系、柱坐标系的理解． 2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化． [基础·初探] 1．球坐标系与球坐标 (1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系． 图4­1­5 (2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 2．直角坐标与球坐标间的关系 图4­1­6 若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4­1­6所示． x2＋y2＋z2＝r2， x＝rsin_θcos