河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末质量检测（6月）数学（理）试题（扫描版）

洛阳市２０１６———２０１７学年高二年级质量检测 数学试卷参考答案（理） 一、选择题 １－５　ＣＢＤＣＤ　６－１０　ＣＡＢＡＢ　　１１－１２　ＣＡ 二、填空题 １３． ７ ４ 　　　１４．６０　　　　１５．－５４０　　　１６．０ 三、解答题 １７．（１）由正弦定理及已知得ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＋ １ ２ ｓｉｎ犆＝ｓｉｎ犃＝ｓｉｎ（犅＋犆），……２分 ∴　ｃｏｓ犅ｓｉｎ犆＝ １ ２ ｓｉｎ犆，由于ｓｉｎ犆≠０，　∴　ｃｏｓ犅＝ １ ２ ， ……４分 犅∈（０，π），所以犅＝ π ３ ． ……５分 （２）由Δ犃犅犆的面积犛＝ １ ２ 犪犮ｓｉｎπ ３ ＝ 槡３ ４ 犫２，得犫２＝犪犮， ……６分 由余弦定理，得犫２＝犪２＋犮２－２犪犮ｃｏｓ犅＝犪犮， 所以（犪－犮）２＝０，所以犪＝犮， ……８分 此时有犫２＝犪犮＝犪 ２ 　∴　犪＝犫＝犮， 所以Δ犃犅犆为等边三角形． ……１０分 １８．（１）由（狀＋１）犪２狀＋１＋犪狀犪狀＋１－狀犪 ２ 狀 ＝０可得（犪狀＋１＋犪狀）［（狀＋１）犪狀＋１－狀犪狀］＝０， ∵　犪狀＞０，　　∴（狀＋１）犪狀＋１＝狀犪狀， ……２分 从而（狀＋１）犪狀＋１＝狀犪狀＝（狀－１）犪狀－１＝…＝２犪２＝１·犪１， ……４分 所以犪狀＝ １ 狀 ． ……６分 （２）由（１）知犫狀＝犪２狀－１犪２狀＋１＝ １ ２狀－１ · １ ２狀＋１ ＝ １ ２ （ １ ２狀－１ － １ ２狀＋１ ）， ……８分 ∴犜狀＝犫１＋犫２＋…＋犫狀＝ １ ２ （１－ １ ３ ＋ １ ３ － １ ５ ＋…＋ １ ２狀－１ － １ ２狀＋１ ） ……１０分 ＝ １ ２ （１－ １ ２狀＋１ ）＜ １ ２ ． ……１２分 １９．（１）依题意甲，乙，丙三人的分配方法只有２种，其余二人的分配方法有２２种，故 共有２×２ ２ ＝８种不同的分配方案． ……２分 （２）设５名学生中恰有犻名被分到王城公园的事件为犃犻（犻＝０，１，２，３，４，５），ξ的所 有可能取值是１，３，５． ……３分 高二理数答案　第１页　（共３页）　（２０１７．６） 犘（ξ＝１）＝犘（犃２＋犃３）＝犘（犃２）＋犘（犃３）＝ 犆２５犆 ３ ３ ２５ ＋ 犆３５犆 ２ ２ ２５ ＝ ５ ８ ， ……５分 犘（ξ＝３）＝犘（犃１＋犃４）＝犘（犃１）＋犘（犃４）＝ 犆１５犆 ４ ４ ２５ ＋ 犆４５犆 １ １ ２５ ＝ ５ １６ ， ……７分 犘（ξ＝５）＝犘（犃０＋犃５）＝犘（犃０）＋犘（犃５）＝ 犆０５犆 ５ ５ ２５ ＋ 犆５５ ２５ ＝ １ １６ ， ……９分 则随机变量ξ的分布列为 ξ １ ３ ５ 犘 ５ ８ ５ １６ １ １６ ……１０分 故随机变量ξ的数学期望犈（ξ）＝１× ５ ８ ＋３× ５ １６ ＋５× １ １６ ＝ １５ ８ ． ……１２分 ２０．（１）证明：∵　矩形犅犅１犆犆１所在平面与底面 犃犅犅１犖垂直，则犆犅⊥底面犃犅犅１犖． ∵　犃犖／／犅犅１，犃犅⊥犃犖，则犃犅 ⊥犅犅１，如 图，以犅为坐标原点，以犅犃，犅犅１，犅犆为坐标 轴，建立空间直角坐标系，不妨设犅犅１＝４， 则犖 ２，２，（ ）０ ，犆１ ０，４，（ ）２ ，犅１ ０，４，（ ）０ ， 犆０，０，（ ）２ ∵　犅１ → 犖· →犅犖 ＝４－４＝０，则犅１犖⊥犅犖， 犅犖 ⊥犅１犆１， 且犅１犖∩犅１犆１＝犅１，则犅犖 ⊥平面犆１犅１犖． ……４分 （２）设平面犆１犅犖 的一个法向量为珤犿 ＝ 狓，狔，（ ）狕 ，由于 → 犅犖 ＝（２，２，０）， 犆１ → 犖＝（２，－２，－２） 由 珗狀· → 犅犖 ＝０， 珗狀·犆１ → 犖＝０ 烅 烄 烆 ． 得 狓＋狔＝０， 狓－狔－狕＝０｛ ．令狓＝１得珤犿＝（１，－１，２）． ……６分 同理求得平面犆１犆犖 的一个法向量为珗狀＝ １，０，（ ）１ ． ……８分 设二面角犆－犆１犖－犅的平面角为θ， 则ｃｏｓθ＝ 狘珤犿·珗狀狘 狘珤犿狘狘珗狀狘 ＝ 槡３ ２ ． ……１０分 又二面角犆－犆１犖－犅为锐二面角，所以二面角犆－犆１犖－犅的大小是３０°． ……１２分 ２１．（１）一条渐近线与狓轴所成的夹角为３０°知 犫 犪 ＝ｔａｎ３０°＝ 槡３ ３ ，即犪２＝３犫２， 又犮＝ 槡２２，所以犪２＋犫２＝８，解得犪２＝６，犫２＝２． 所以椭圆犆的方程为 狓２ ６ ＋ 狔 ２ ２ ＝１． ……４分 高二理数答案　第２页　（共３页）　（２０１７．６） （２）由（１）知犉２（２，０），设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），设直线犃犅的方程为狓＝狋狔＋２． 联立 狓２ ６ ＋ 狔 ２ ２ ＝１ 狓＝狋狔＋ 烅 烄 烆 ２ 得（狋２＋３）狔２＋４狋狔－２＝０， ……６分 由狔１＋狔２＝ －４狋 狋２＋３ ，得狓１＋狓２＝ １２ 狋２＋３