2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第2章 3　从速度的倍数到数乘向量 (4份打包)

§3　从速度的倍数到数乘向量 3.1　数乘向量 1．理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点) 2．理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点) 3．会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点) [基础·初探] 教材整理　数乘向量 阅读教材P82～P84“例3”以上部分，完成下列问题． 1．数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa．它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a； ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 (1)判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理 若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　) (2)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反．(　　) (3)向量－8a的模是向量4a的模的2倍．(　　) (4)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．(　　) (5)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa．(　　) 【解析】　由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)正确，(3)正确；(4)当λ＝0，b＝0时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当a＝0，b≠0时，就不存在实数λ，使b＝λa，故(6)错误． 【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× [小组合作型] 向量的线性运算 　(1)化简； －2 (2)已知向量a，b，x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b 试用向量a，b表示向量x，y. 【精彩点拨】　根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算． 【自主解答】　(1)原式＝b－a－ ＝a＋b＝0.b－a－ (2)联立得 ①×3＋②×2，得x＝3a＋2b， ①×4＋②×3，得y＝4a＋3b. 1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数． 2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解． [再练一题] 1．已知2(x－(c＋b－3x)＋b＝0， a)－ 试用向量a，b，c表示向量x. 【解】　由已知得，2x－b＋x＋b＝0c－a－ 3x－c＝0b－a＋ 3x＝cb＋a－ ∴x＝c．b＋a－ 向量共线定理及应用 　已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，判断a与b是否共线？ 【精彩点拨】　利用向量共线定理进行判断． 【自主解答】　若a与b共线，则存在λ∈R.使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)， 所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0. 因为e1与e2不共线，所以所以λ不存在． 所以a与b不共线． 1．本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线平行问题，也可以根据共线求参数的值． 2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线． [再练一题] 2．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－e2.＝e1＋3e2，＝2e1－8e2， (1)求证：A，B，D三点共线． (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值． 【解】　(1)证明：由已知得 －＝ ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2) ＝e1－4e2. ∵＝2e1－8e2， ∴有公共点B.与，又＝2 ∴A，B，D三点共线． (2)由(1)可知＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，＝e1－4e2，由 得，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，＝λ 得解得k＝12. [探究共研型] 向量线性运算的综合应用 探究1　若存在实数λ，使，则A，B，C三点的位置关系如何？ ＝λ 【提示】　A，B，C三点共线． 探究2　向量共线定理有哪两个方面的应用？ 【提示】　(1)判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线．(2)表示两个共线向量之间的关系．若a与b共线(a≠0)则必存在一个实数λ.使b＝λa． 　已知O是坐标原点，过△OAB的重心的直线交OA于点P，交OB于点Q，＝3. ＋＝n b，求证：＝m a，＝b，＝a， 【导学号：69992019】 【精彩点拨】　解答本题可先利用三角形重心性质，共线向量基本定理把，最后利用Q，G，P三点共线，即可得证．，表示出来，再用向量求和法则，将